试题

如图，已知抛物线y=ax2-

4 3

3

x+3交x轴于A、B两点，交y轴于C点，且Rt△AOC∽Rt△COB，求△ABC的面积．

解：设抛物线y=ax2-

4 3

3

x+3与x轴的交点的坐标为A（x₁，0）、（x₂，0）．
∵当x=0时，y=3，
∴抛物线y=ax2-

4 3

3

x+3与y的交点C的坐标为（0，3）．
∵Rt△AOC∽Rt△COB，
∴OC²=OA·OB（相似三角形的对应边成比例），
∴OC²=x₁·x₂，即3²=

3

a

，
解得，a₁=

1

3

，或a₂=-

1

3

（不合题意，舍去），
故该抛物线的解析式为：y=

1

3

x²-

4 3

3

x+3．
令y=0，则

1

3

x²-

4 3

3

x+3=0，
解得x₁+x₂=4

3

，x₁·x₂=9，
则AB=|x₂-x₁|=

(x1+x2)2-4x1x2

=2

3

，
故S_△ABC=

1

2

AB·OC=

1

2

×2

3

×3=3

3

．
解：设抛物线y=ax2-

4 3

3

x+3与x轴的交点的坐标为A（x₁，0）、（x₂，0）．
∵当x=0时，y=3，
∴抛物线y=ax2-

4 3

3

x+3与y的交点C的坐标为（0，3）．
∵Rt△AOC∽Rt△COB，
∴OC²=OA·OB（相似三角形的对应边成比例），
∴OC²=x₁·x₂，即3²=

3

a

，
解得，a₁=

1

3

，或a₂=-

1

3

（不合题意，舍去），
故该抛物线的解析式为：y=

1

3

x²-

4 3

3

x+3．
令y=0，则

1

3

x²-

4 3

3

x+3=0，
解得x₁+x₂=4

3

，x₁·x₂=9，
则AB=|x₂-x₁|=

(x1+x2)2-4x1x2

=2

3

，
故S_△ABC=

1

2

AB·OC=

1

2

×2

3

×3=3

3

．