试题

如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角△ABC和△AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），设BE=m，CD=n．
（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对加以证明．
（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围．

解：（1）△ABE∽△DAE，△DCA∽△DAE，
∵∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+45°
∴∠BAE=∠CDA
又∠B=∠BAE=45°
∴△ABE∽△DAE．

（2）由（1）可知△ABE∽△DAE，△DCA∽△DAE，则有△ABE∽△DCA．
∴

AB

CD

=

BE

AC

又∵△ABC是等腰直角三角形，且BC=2，
∴AB=AC=

2

，又BE=m，CD=n，
∴

2

n

=

m

2

，即mn=2，或m=

2

n

（1＜n＜2）．
解：（1）△ABE∽△DAE，△DCA∽△DAE，
∵∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+45°
∴∠BAE=∠CDA
又∠B=∠BAE=45°
∴△ABE∽△DAE．

（2）由（1）可知△ABE∽△DAE，△DCA∽△DAE，则有△ABE∽△DCA．
∴

AB

CD

=

BE

AC

又∵△ABC是等腰直角三角形，且BC=2，
∴AB=AC=

2

，又BE=m，CD=n，
∴

2

n

=

m

2

，即mn=2，或m=

2

n

（1＜n＜2）．