试题

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，E、F分别是AB、AD的中点，连接AC、CE和EF，设AC和EF的交点为M．
（1）求证：△AMF∽△CME；
（2）若AC=12 cm，求AM的长；
（3）若△AMF的面积为1 cm²，则梯形ABCD的面积是cm²．

解：（1）证明如下：∵在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，E、F分别是AB、AD的中点，
∴AE∥CD，AE=CD，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AD∥CE，AD=CE
∴△AFM∽△CEM；

（2）由（1）知AD∥CE，AD=CE
∴

AF

CE

=

AM

MC

又F为AD的中点
AF=

1

2

AD=

1

2

CE
∴

AM

AC-AM

=

1

2

即

AM

12-AM

=

1

2

解得AM=4；

（3）由（1）得△AFM∽△CEM
∴三角形MEC的面积是1×4=4
又

ME

MF

=

EC

AF

=2
∴三角形AME的面积是1×2=2
∴三角形AEC的面积是2+4=6
三角形ADC的面积等于三角形AEC的面积等于6
E为AB的中点
∴三角形EBC的面积是6
∴梯形ABCD的面积是6+6+6=18
故填18．