试题

如图，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF．
（1）求证：∠ADP=∠EPB；
（2）当

AP

AB

的值等于多少时，△PFD∽△BFP？并说明理由．

证明：（1）∵四边形ABCD是正方形．
∴∠A=∠PBC=90°，AB=AD，
∴∠ADP+∠APD=90°，
∵∠DPE=90°，
∴∠APD+∠EPB=90°，
∴∠ADP=∠EPB；          

（2）当

AP

AB

=

1

2

时，△PFD∽△BFP．
设AD=AB=a，则AP=PB=

1

2

a，
∵∠A=∠PBC，∠ADP=∠EPB，
∴Rt△APD∽Rt△BFP，
∴

AP

BF

=

AD

BP

，
∴BF=BP·

AP

AD

=

1

4

a，
∴PD=

AD2+AP2

=

5

2

a，PF=

PB2+BF2

=

5

4

a，
∴

PB

PD

=

BF

PF

=

5

5

，
又∵∠DPF=∠PBF=90°，
∴△PFD∽△BFP．
证明：（1）∵四边形ABCD是正方形．
∴∠A=∠PBC=90°，AB=AD，
∴∠ADP+∠APD=90°，
∵∠DPE=90°，
∴∠APD+∠EPB=90°，
∴∠ADP=∠EPB；          

（2）当

AP

AB

=

1

2

时，△PFD∽△BFP．
设AD=AB=a，则AP=PB=

1

2

a，
∵∠A=∠PBC，∠ADP=∠EPB，
∴Rt△APD∽Rt△BFP，
∴

AP

BF

=

AD

BP

，
∴BF=BP·

AP

AD

=

1

4

a，
∴PD=

AD2+AP2

=

5

2

a，PF=

PB2+BF2

=

5

4

a，
∴

PB

PD

=

BF

PF

=

5

5

，
又∵∠DPF=∠PBF=90°，
∴△PFD∽△BFP．