试题

如图，锐角三角形ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D和E，AP∥BC且与BE的延长线交于P，又边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x²-x+

1

4

（4m²-4m+2）=0的两个根
（1）求m的值；
（2）若AF：FD=2，那么点A、C是否关于直线BE对称？请说明理由，并求AP的值．

解：（1）∵△=（-1）²-4×

1

4

（4m²-4m+2）=-（2m-1）²≥0，
∴2m-1=0，解得m=

1

2

；

（2）当m=

1

2

时，原方程两根相等，即AB=AC=

1

2

，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
又∵AP∥BC，AF：FD=2，
∴△AFP∽△DFB，
∴

AP

BD

=

AF

FD

=2，
∴AP=2BD=BC，
连接CP，则PA平行且等于BC，
∴四边形ABCP为平行四边形，
∴AE=EC，
即点A、C关于直线BE对称，
∵BE垂直平分AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴AP=BC=AB=

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．
解：（1）∵△=（-1）²-4×

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（4m²-4m+2）=-（2m-1）²≥0，
∴2m-1=0，解得m=

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；

（2）当m=

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时，原方程两根相等，即AB=AC=

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，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
又∵AP∥BC，AF：FD=2，
∴△AFP∽△DFB，
∴

AP

BD

=

AF

FD

=2，
∴AP=2BD=BC，
连接CP，则PA平行且等于BC，
∴四边形ABCP为平行四边形，
∴AE=EC，
即点A、C关于直线BE对称，
∵BE垂直平分AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴AP=BC=AB=

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