试题

如图，在直角梯形OABC中，已知B、C两点的坐标分别为B（8，6）、C（10，0），动点M由原点O出发沿OB方向匀速运动，速度为1单位/秒；同时，线段DE由CB出发沿BA方向匀速运动，速度为1单位/秒，交OB于点N，连接DM，过点M作MH⊥AB于H，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．
（1）试说明：△BDN∽△OCB；
（2）试用t的代数式表示MH的长；
（3）当t为何值时，以B、D、M为顶点的三角形与△OAB相似？
（4）设△DMN的面积为y，求y与t之间的函数关系式．

解：（1）∵AB∥CO，
∴∠DBO=∠BOC，∠BDN=∠DEO，
∵线段DE由CB出发沿BA方向匀速运动，
∴DE∥BC，
∴∠DEO=∠OCB，
∴∠BDN=∠OCB，
∴△BDN∽△OCB；

（2）直角梯形中OABC中，∠BAO=90°，MH⊥AB，
∴∠BHM=∠BAO=90°，OB=

OA2+AB2

=10，
∴MH∥AO，
∴△BHM∽△BAO，
∴

MH

AO

=

BM

BO

，
∴

MH

6

=

10-t

10

，
∴MH=6-

3

5

t；

（3）①若△BDM∽△BAO，
∴

BD

BA

=

BM

BO

，
∴

t

8

=

10-t

10

，
∴t=

40

9

，
②若△BDM∽△BOA，
∴

BD

BO

=

BM

BA

，
∴

t

10

=

10-t

8

，
∴t=

50

9

；
综上所述，当t=

40

9

或t=

50

9

时，△BDM与△BOA相似；

（4）过点B作BG⊥OC于G，
∴BG=AO=6，
∴S△B0C=

1

2

×10×6=30，
∵△BDN∽△OCB，
∴

S△BDN

S△BOC

=(

BD

OC

)2，
∴

S△BDN

30

=(

t

10

)2，
∴S△BDN=

3

10

t2，
①当点M在ON上即0＜t＜5时，
y=S_△DMN=S_△BDM-S_△BDN，
=

1

2

×t×(6-

3

5

t)-

3

10

t2，
=3t-

3

5

t2，
②当点M在BN上即5＜t＜8时，
y=S_△DMN=S_△BDN-S_△BDM，
=

3

10

t²-

1

2

×t×（6-

3

5

t），
=

3

5

t²-3t．
解：（1）∵AB∥CO，
∴∠DBO=∠BOC，∠BDN=∠DEO，
∵线段DE由CB出发沿BA方向匀速运动，
∴DE∥BC，
∴∠DEO=∠OCB，
∴∠BDN=∠OCB，
∴△BDN∽△OCB；

（2）直角梯形中OABC中，∠BAO=90°，MH⊥AB，
∴∠BHM=∠BAO=90°，OB=

OA2+AB2

=10，
∴MH∥AO，
∴△BHM∽△BAO，
∴

MH

AO

=

BM

BO

，
∴

MH

6

=

10-t

10

，
∴MH=6-

3

5

t；

（3）①若△BDM∽△BAO，
∴

BD

BA

=

BM

BO

，
∴

t

8

=

10-t

10

，
∴t=

40

9

，
②若△BDM∽△BOA，
∴

BD

BO

=

BM

BA

，
∴

t

10

=

10-t

8

，
∴t=

50

9

；
综上所述，当t=

40

9

或t=

50

9

时，△BDM与△BOA相似；

（4）过点B作BG⊥OC于G，
∴BG=AO=6，
∴S△B0C=

1

2

×10×6=30，
∵△BDN∽△OCB，
∴

S△BDN

S△BOC

=(

BD

OC

)2，
∴

S△BDN

30

=(

t

10

)2，
∴S△BDN=

3

10

t2，
①当点M在ON上即0＜t＜5时，
y=S_△DMN=S_△BDM-S_△BDN，
=

1

2

×t×(6-

3

5

t)-

3

10

t2，
=3t-

3

5

t2，
②当点M在BN上即5＜t＜8时，
y=S_△DMN=S_△BDN-S_△BDM，
=

3

10

t²-

1

2

×t×（6-

3

5

t），
=

3

5

t²-3t．