试题

题目：
青果学院如图，在正△ABC中，点D是AC的中点，点E在BC上，且
CE
BC
=
1
3
．求证：
（1）△ABE∽△DCE；
（2）S△DCE=6
3
 cm2，求S△ABC．
答案
（1）证明：∵△ABC是正三角形，
∴∠B=∠C，AB=AC．
∵点D是AC的中点，
∴AC=2CD．
∵
CE
BC
=
1
3
，
∴BE=2CE．
∴
AB
CD
=
BE
CE
=
1
2
．
∴△ABE∽△DCE．

（2）解：∵△ABE∽△DCE，
∴S△ABE=（
AB
DC
）2×S△DCE=4×6
3
=24
3
cm2，
又∵AD=DC且△AED与△EDC具有相同的高和底，
∴S△AED=S△EDC=6
3
cm2
∴S△ABC=S△ABE+S△DCE+S△AED=24
3
+6
3
+6
3
=36
3
cm2．
（1）证明：∵△ABC是正三角形，
∴∠B=∠C，AB=AC．
∵点D是AC的中点，
∴AC=2CD．
∵
CE
BC
=
1
3
，
∴BE=2CE．
∴
AB
CD
=
BE
CE
=
1
2
．
∴△ABE∽△DCE．

（2）解：∵△ABE∽△DCE，
∴S△ABE=（
AB
DC
）2×S△DCE=4×6
3
=24
3
cm2，
又∵AD=DC且△AED与△EDC具有相同的高和底，
∴S△AED=S△EDC=6
3
cm2
∴S△ABC=S△ABE+S△DCE+S△AED=24
3
+6
3
+6
3
=36
3
cm2．
考点梳理
相似三角形的判定与性质．
（1）由题意可以得出∠B=∠C=60°，又
CE
BC
=
1
2
=
CE
BE+CE
，所以
BE
CE
=2，又点D是AC的中点，即：
AB
CD
=
AC
CD
=
BE
EC
=
1
2
，所以△ABE∽△DCE；
（2）由（1）知△ABE∽△DCE，由相似三角形的性质（相似三角形的面积之比等于边之比的平方）可得S△ABE=（
AB
DC
）2×S△DCE=4×6
3
=24
3
cm2，又AD=DC且△AED与△EDC具有相同的高和底，所以S△AED=S△EDC=6cm2，S△ABC=S△ABE+S△DCE+S△AED，代入求值．
本题主要考查相似三角形的判定与性质，已知其中一个三角形的面积，根据两个相似三角形的面积之比等于边之比的平方，求出另一个三角形的面积，另外同底且同高三角形的面积相等．
证明题．
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