试题

题目：
青果学院已知：如图，△PQR是等边三角形，∠APB=120°
求证：（1）△PQA∽△BRP；（2）AQ·RB=QR2．
答案
解：（1）∵△PQR是等边三角形，
∴∠PQR=∠PRQ=60°，
∴∠PQA=∠BRP=120°，
又∵∠PQR是△PQA的外角，
∴∠PQR=∠APQ+∠PAQ=60°，
∵∠APB=120°，
∴∠PAQ+∠RBP=60°，
∴∠APQ=∠RBP，
∴△PQA∽△BRP；

（2）∵△PQA∽△BRP，
∴
AQ
PQ
=
PR
BR
，
又∵△PQR是等边三角形，
∴PQ=RQ=PR，
∴AQ·RB=QR2．
解：（1）∵△PQR是等边三角形，
∴∠PQR=∠PRQ=60°，
∴∠PQA=∠BRP=120°，
又∵∠PQR是△PQA的外角，
∴∠PQR=∠APQ+∠PAQ=60°，
∵∠APB=120°，
∴∠PAQ+∠RBP=60°，
∴∠APQ=∠RBP，
∴△PQA∽△BRP；

（2）∵△PQA∽△BRP，
∴
AQ
PQ
=
PR
BR
，
又∵△PQR是等边三角形，
∴PQ=RQ=PR，
∴AQ·RB=QR2．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；等边三角形的性质．
（1）由于△PQR是等边三角形，那么∠PQR=∠PRQ=60°，则∠PQA=∠BRP=120°，利用∠PQR是△PQA的外角，可得∠PQR=∠APQ+∠PAQ=60°，而∠APB=120°，利用三角形内角和定理可得∠PAQ+∠RBP=60°，于是有∠APQ=∠RBP，利用相似三角形的判定可得△PQA∽△BRP；
（2）由（1）知△PQA∽△BRP，可得比例线段
AQ
PQ
=
PR
BR
，而△PQR是等边三角形，可知PQ=QR=PR，于是有AQ·RB=QR2．
本题利用了等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形外角的性质、三角形的内角和定理．
证明题．
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