试题

如图，已知：在矩形ABCE中，点D是线段AE上的一个点，AB=3，AD=2，连接CD，过点D作PD⊥CD，交AB于点P．
（1）求证：△APD∽△EDC；
（2）求

PD

CD

的值；
（3）当△APD与△DPC相似时，求线段BC的长．

（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠E=90°，
∴∠APD+∠ADP=90°，
∵PD⊥DC，
∴∠ADP+∠CDE=90°，
∴∠APD=∠CDE，
∴△APD∽△EDC；

（2）解：∵四边形ABCD为矩形，
∴EC=AB=3，
∵△APD∽△EDC，
∴

PD

CD

=

AD

CE

=

2

3

；

（3）∵△APD∽△EDC；
∴当△APD∽△DPC时，则△EDC∽△DPC，
∴

DE

DP

=

CE

DC

，
∴DE=

DP

DC

·CE=

2

3

×3=2，
∴AE=AD+DE=4，
∴BC=4；
当△APD∽△DCP时，则△EDC∽△DCP，
∴

DE

DC

=

EC

DP

，
∴DE=

DC

DP

·CE=

3

2

×3=

9

2

∴AE=AD+DE=

13

2

，
∴BC=

13

2

，
即线段BC的长为4或

13

2

．
（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠E=90°，
∴∠APD+∠ADP=90°，
∵PD⊥DC，
∴∠ADP+∠CDE=90°，
∴∠APD=∠CDE，
∴△APD∽△EDC；

（2）解：∵四边形ABCD为矩形，
∴EC=AB=3，
∵△APD∽△EDC，
∴

PD

CD

=

AD

CE

=

2

3

；

（3）∵△APD∽△EDC；
∴当△APD∽△DPC时，则△EDC∽△DPC，
∴

DE

DP

=

CE

DC

，
∴DE=

DP

DC

·CE=

2

3

×3=2，
∴AE=AD+DE=4，
∴BC=4；
当△APD∽△DCP时，则△EDC∽△DCP，
∴

DE

DC

=

EC

DP

，
∴DE=

DC

DP

·CE=

3

2

×3=

9

2

∴AE=AD+DE=

13

2

，
∴BC=

13

2

，
即线段BC的长为4或

13

2

．