试题

分在矩形ABCD中，AB=2，BC=5，点P在BC上，且BP：PC=2：3，动点E在边AD上，过点P作PF⊥PE分别交射线AD、射线CD于点F、G．
（1）如图，当点G在线段CD上时，设AE=x，△EPF与矩形ABCD重叠部分的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（2）当点E在移动过程中，△DGF是否可能为等腰三角形？如可能，请求出AE的长；如不可能，请说明理由．

解：（1）过点E作EH⊥BC，
∵EP⊥PF，
∴△PEH∽△GPC，
∴

PH

EH

=

GC

PC

，
∵BP：PC=2：3，BC=5，
∴PB=2，PC=3，
∴GC=

2-x

2

·3．
∴y=2×5-2x-

1

2

×（2-x）×2-

1

2

×3×

3(2-x)

2

=

5

4

x+

7

2

（

2

3

≤x＜2）；

（2）解：当点E在移动过程中，△DGF不能为等腰三角形，
理由是：∵要使△DFG是等腰三角形，∠GDF=90°，
∴DF=DG，
∴∠G=∠GFD=45°，
∵∠C=90°，
∴∠GPC=45°=∠G，
∴CP=CG=3，
由（1）知：

PH

EH

=

GC

PC

，
∴

PH

2

=

3

3

，
PH=2，
即H和B重合，
∵EH⊥BC，
∴E和A重合，
即当AE=0时，AD=4，FD=1，则△EPF与BC无交点，
则不存在△DFG是等腰三角形．
解：（1）过点E作EH⊥BC，
∵EP⊥PF，
∴△PEH∽△GPC，
∴

PH

EH

=

GC

PC

，
∵BP：PC=2：3，BC=5，
∴PB=2，PC=3，
∴GC=

2-x

2

·3．
∴y=2×5-2x-

1

2

×（2-x）×2-

1

2

×3×

3(2-x)

2

=

5

4

x+

7

2

（

2

3

≤x＜2）；

（2）解：当点E在移动过程中，△DGF不能为等腰三角形，
理由是：∵要使△DFG是等腰三角形，∠GDF=90°，
∴DF=DG，
∴∠G=∠GFD=45°，
∵∠C=90°，
∴∠GPC=45°=∠G，
∴CP=CG=3，
由（1）知：

PH

EH

=

GC

PC

，
∴

PH

2

=

3

3

，
PH=2，
即H和B重合，
∵EH⊥BC，
∴E和A重合，
即当AE=0时，AD=4，FD=1，则△EPF与BC无交点，
则不存在△DFG是等腰三角形．