试题

如图，△ABC为等边三角形，点P是边AC的延长线上一点，连接BP，作∠BPQ等于60°，直线PQ与直线BC交于点N．
（1）求证：AP·PC=AB·CN；
（2）若BC=2，CN=

3

2

，求∠N的正切值．

（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=∠A=∠ABC=60°，
∴∠PCN=∠A=60°，
∵∠ACB=∠CBP+∠CPB=60°，∠BPQ=∠PBN+∠N=60°，
∴∠CPB=∠N，
∴△PAB∽△NCP，
∴

PA

NC

=

AB

CP

，
∴AP·CP=AB·NC；
（2）解：过点P作PD⊥CN于点D，
∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=BC=2
由（1）知，AP·CP=AB·NC，
∴（PC+2）×PC=2×

3

2

，
整理得 PC²+2PC-3=0，
∴PC=1或PC=-3（舍），
在Rt△PCD中，∠PDC=90°，∠PCD=60°
∴∠CPD=30°，
∴CD=

1

2

CP=

1

2

，
由勾股定理得PD=

PC2-CD2

=

3

2

，
∴DN=CN-CD=

3

2

-

1

2

=1，
在Rt△NDP中，∠PDN=90°，tan∠N=

PD

ND

=

1 2 3

1

=

3

2

．
（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=∠A=∠ABC=60°，
∴∠PCN=∠A=60°，
∵∠ACB=∠CBP+∠CPB=60°，∠BPQ=∠PBN+∠N=60°，
∴∠CPB=∠N，
∴△PAB∽△NCP，
∴

PA

NC

=

AB

CP

，
∴AP·CP=AB·NC；
（2）解：过点P作PD⊥CN于点D，
∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=BC=2
由（1）知，AP·CP=AB·NC，
∴（PC+2）×PC=2×

3

2

，
整理得 PC²+2PC-3=0，
∴PC=1或PC=-3（舍），
在Rt△PCD中，∠PDC=90°，∠PCD=60°
∴∠CPD=30°，
∴CD=

1

2

CP=

1

2

，
由勾股定理得PD=

PC2-CD2

=

3

2

，
∴DN=CN-CD=

3

2

-

1

2

=1，
在Rt△NDP中，∠PDN=90°，tan∠N=

PD

ND

=

1 2 3

1

=

3

2

．