试题

题目：
（1）在图1中，∠A=90°，画出已知△ABC内接等腰直角△A′B′C′，使直角顶点A′在BC上、B′在AB上，C′在AC上（不写画法，保留作图痕迹）；
（2）如图2，如果∠A是直角，AB=4，AC=3，B′C′∥BC，求等腰直角△A′B′C′的底边B′C′的长．
青果学院
答案
青果学院解：（1）如图，△A′B′C′为所求作的三角形，

（2）作AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，
∵B′C′∥BC，
∴AM⊥B′C′，
∴D′A′=DM，△ABC∽△AB′C′，
∴B′C′：BC=AM：AD，
∵∠A是直角，AB=4，AC=3，青果学院
∴AD=
12
5
，
∵等腰直角△A′B′C′，
∴A′D′=
1
2
B′C′，
∵B′C′∥BC，
∴A′D′=DM，
设B′C′=x，则：
B′C′
BC
=
AM
AD
，
∴
x
5
=
12
5
-
1
2
x
12
5
，
整理方程得：
x
5
=1-
5
24
x，
∴x=
120
49
，
∴B′C′=
120
49
．
青果学院解：（1）如图，△A′B′C′为所求作的三角形，

（2）作AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，
∵B′C′∥BC，
∴AM⊥B′C′，
∴D′A′=DM，△ABC∽△AB′C′，
∴B′C′：BC=AM：AD，
∵∠A是直角，AB=4，AC=3，青果学院
∴AD=
12
5
，
∵等腰直角△A′B′C′，
∴A′D′=
1
2
B′C′，
∵B′C′∥BC，
∴A′D′=DM，
设B′C′=x，则：
B′C′
BC
=
AM
AD
，
∴
x
5
=
12
5
-
1
2
x
12
5
，
整理方程得：
x
5
=1-
5
24
x，
∴x=
120
49
，
∴B′C′=
120
49
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
（1）首先作出∠A的角平分线，角平分线与边BC的交点为A'，然后过A′点分别作AB、AC的垂线，垂足为B′、C′点，故△A′B′C′为所求作的等腰直角三角形；
（2）作AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，根据题意即可推出D′A′=DM，通过解直角三角形推出AD的长度，设出B′C′的长度为x，表示出D′A′的长度，即DM得长度，然后根据相似三角形的性质，即可求出x的长度，即B′C′得长度．
本题主要考查相似三角形的性质、直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质，关键在于根据题意画出图形，通过求证△ABC∽△AB′C′，推出对应高的比等于相似比，即可推出B′C′的长度．
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