试题

如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，直角尺（曲尺）MPN的直角顶点P在AD上滑动到某点（点P与点A、D不重合），射线PN经过点C，射线PM交直线AB于点E，交直线BC于点F．
（1）求证：Rt△AEP∽Rt△DPC；
（2）是否存在这样的点P使△DPC的周长等于△AEP周长的4倍？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由；
（3）在点P的运动过程中，点E能与点B重合吗？若能，求出重合时DP的长，若不能，说明理由；
（4）你认为线段FC的长有最大值吗？有最小值吗？（直接回答，不必说明理由）

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠A=90°，CD=AB=6，
∴∠PCD+∠DPC=90°，
又∵∠CPE=90°，
∴∠EPA+∠DPC=90°，
∴∠PCD=∠EPA，
∴△CDP∽△PAE．

（2）假设存在满足条件的点P，设DP=x，则AP=10-x，
∵△CDP∽△PAE，
根据△CDP的周长等于△PAE周长的4倍，得到两三角形的相似比为4，
∴

CD

AP

=4即

4

10-x

=4，
解得x=9，
此时DP=9；

（3）在点P的运动过程中，点E能与点B重合，
当B，E重合时，
∵∠BPC=90°，
∴∠APB+∠DPC=90°，
∵∠DPC+∠DCP=90°，
∴∠DCP=∠APB，
∵∠A=∠D，
∴△ABP∽DPC，
∴

AB

PD

=

AP

CD

，

4

DP

=

10-DP

4

，
解得：DP=2或8，
∴B，E重合时DP的长为2或8；

（4）∵当PC与CD越接近重合时，得出FC无限大，
∴线段FC的长没有最大值，
∵当P在AD中点时，FC最小，
∵∠EPC=90°，∴∠DPC+∠APE=90°，
∵∠DCP+∠DPC=90°，
∴∠DCP=∠APE，
∵∠A=∠D=90°，
∴△EAP∽△PDC，
∴

EA

DP

=

AP

CD

，
∴

4+BE

5

=

5

4

，
∴BE=

9

4

，
∵BF∥AP，
∴△EBF∽△EAP，
∴

EB

EA

=

BF

AP

，
∴

9 4

4+ 9 4

=

BF

5

，
解得：BF=

9

5

，
∴FC=10-

9

5

=

41

5

，
∴线段FC的长有最小值为

41

5

．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠A=90°，CD=AB=6，
∴∠PCD+∠DPC=90°，
又∵∠CPE=90°，
∴∠EPA+∠DPC=90°，
∴∠PCD=∠EPA，
∴△CDP∽△PAE．

（2）假设存在满足条件的点P，设DP=x，则AP=10-x，
∵△CDP∽△PAE，
根据△CDP的周长等于△PAE周长的4倍，得到两三角形的相似比为4，
∴

CD

AP

=4即

4

10-x

=4，
解得x=9，
此时DP=9；

（3）在点P的运动过程中，点E能与点B重合，
当B，E重合时，
∵∠BPC=90°，
∴∠APB+∠DPC=90°，
∵∠DPC+∠DCP=90°，
∴∠DCP=∠APB，
∵∠A=∠D，
∴△ABP∽DPC，
∴

AB

PD

=

AP

CD

，

4

DP

=

10-DP

4

，
解得：DP=2或8，
∴B，E重合时DP的长为2或8；

（4）∵当PC与CD越接近重合时，得出FC无限大，
∴线段FC的长没有最大值，
∵当P在AD中点时，FC最小，
∵∠EPC=90°，∴∠DPC+∠APE=90°，
∵∠DCP+∠DPC=90°，
∴∠DCP=∠APE，
∵∠A=∠D=90°，
∴△EAP∽△PDC，
∴

EA

DP

=

AP

CD

，
∴

4+BE

5

=

5

4

，
∴BE=

9

4

，
∵BF∥AP，
∴△EBF∽△EAP，
∴

EB

EA

=

BF

AP

，
∴

9 4

4+ 9 4

=

BF

5

，
解得：BF=

9

5

，
∴FC=10-

9

5

=

41

5

，
∴线段FC的长有最小值为

41

5

．