试题

题目：
青果学院在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，P是边BC上的任意一点（P与B、C不重合），作PE⊥AP，交CD于点E．
（1）判断△ABP与△PCE是否相似，并说明理由；
（2）连接BD，若PE∥BD，试求出此时BP的长．
答案
解：（1）△ABP与△PCE相似．理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，
∴∠BAP+∠BPA=90°，
∵PE⊥AP，
∴∠CPE+∠BPA=90°，
∴∠BAP=∠CPE，青果学院
∴Rt△ABP∽Rt△PCE；

（2）由（1）得△ABP∽△PCE，
∴
AB
PC
=
BP
CE
，即
PC
CE
=
AB
BP
，
∵PE∥BD，
∴
CP
CB
=
CE
CD
，即
PC
CE
=
CB
CD
，
∴
AB
BP
=
CB
CD
，
∵AB=CD=2，BC=AD=3，
∴BP=
AB·CD
CB
=
4
3
．
解：（1）△ABP与△PCE相似．理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，
∴∠BAP+∠BPA=90°，
∵PE⊥AP，
∴∠CPE+∠BPA=90°，
∴∠BAP=∠CPE，青果学院
∴Rt△ABP∽Rt△PCE；

（2）由（1）得△ABP∽△PCE，
∴
AB
PC
=
BP
CE
，即
PC
CE
=
AB
BP
，
∵PE∥BD，
∴
CP
CB
=
CE
CD
，即
PC
CE
=
CB
CD
，
∴
AB
BP
=
CB
CD
，
∵AB=CD=2，BC=AD=3，
∴BP=
AB·CD
CB
=
4
3
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；矩形的性质．
（1）△ABP与△PCE相似，根据矩形的性质和相似三角形的判定方法证明即可；
（2）由（1）可知△ABP与△PCE相似，所以
AB
PC
=
BP
CE
，即
PC
CE
=
AB
BP
，又因为PE∥BD，
CP
CB
=
CE
CD
，即
PC
CE
=
CB
CD
，所以
AB
BP
=
CB
CD
，利用已知数据即可求出BP的长．
本题综合考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质以及比例式的性质，题目难度中等．
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