试题

题目：
青果学院如图，在正方形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，且AB=4AM，BC=
16
3
BN．
（1）△ADM和△BMN相似吗？并说明理由．
（2）求∠DMN的度数．
答案
解：（1）△ADM和△BMN相似，
∵在正方形ABCD中，且AB=4AM，BC=
16
3
BN，
∴AB=AD=BC，∠DAM=∠MBN=90°
∴
AD
AM
=4，AB=
4
3
BM，
∵△MBN∽△DAM，
∴
BM
BN
=
AD
AM
=4，
∴
BM
BN
=4，
AD
AM
=
BM
BN
=4，即
AD
BM
=
AM
BN
=4，
又∵∠DAM=∠MBN=90，
∴△ADM∽△BMN；

（2）由（1）得∠ADM=∠BMN，
又∵在Rt△ADM中，∠ADM+∠AMD=90°，
∴∠BMN+∠AMD=90°，
∴∠DMN=90°．
解：（1）△ADM和△BMN相似，
∵在正方形ABCD中，且AB=4AM，BC=
16
3
BN，
∴AB=AD=BC，∠DAM=∠MBN=90°
∴
AD
AM
=4，AB=
4
3
BM，
∵△MBN∽△DAM，
∴
BM
BN
=
AD
AM
=4，
∴
BM
BN
=4，
AD
AM
=
BM
BN
=4，即
AD
BM
=
AM
BN
=4，
又∵∠DAM=∠MBN=90，
∴△ADM∽△BMN；

（2）由（1）得∠ADM=∠BMN，
又∵在Rt△ADM中，∠ADM+∠AMD=90°，
∴∠BMN+∠AMD=90°，
∴∠DMN=90°．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；正方形的性质．
（1）由已知AB=4AM，BC=
16
3
BN，推出
AD
AM
=4，AB=
4
3
BM，
BM
BN
=4，
AD
AM
=
BM
BN
=4，所以△ADM和△BMN相似；
（2）由（1）中△ADM和△BMN相似，推出∠ADM=∠BMN，再由Rt△ADM中，∠ADM+∠AMD=90°得∠BMN+∠AMD=90°，从而得出∠DMN=90°．
此题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，关键是由已知AB=4AM，BC=
16
3
BN．推出
AD
AM
=
BM
BN
=4，即
AD
BM
=
AM
BN
=4；再由三角形相似得出∠ADM=∠BMN，推出∠BMN+∠AMD=90°．
证明题．
找相似题