试题

如图，点F是△ABC中AC边上的中点，AD∥BC，DF交AB于E，交BC延长线于G，
（1）若BE：AE=3：1，BC=8，求BG的长；
（2）若∠1=∠2，试证：FC²=FE·FD．

（1）解：∵AD∥BC，AF=FC，
∴△ADF≌△CGF，
∴AD=CG，FG=FD，
又∵BE：AE=3：1，AD∥BC，
∴BG=3AD，
∴BC=2AD=8，
解得AD=4，
∴BG=3AD=12；

（2）证明：∵∠1=∠2，
∴180°-∠1=180°-∠2，
即∠AEF=∠FCG，
又∵∠AFE=∠GFC，
∵AF=FC，
∴△AFE∽△GFC，
∴

EF

CF

=

AF

FG

，
即

EF

CF

=

CF

FD

，
∴FC²=FE·FD．
（1）解：∵AD∥BC，AF=FC，
∴△ADF≌△CGF，
∴AD=CG，FG=FD，
又∵BE：AE=3：1，AD∥BC，
∴BG=3AD，
∴BC=2AD=8，
解得AD=4，
∴BG=3AD=12；

（2）证明：∵∠1=∠2，
∴180°-∠1=180°-∠2，
即∠AEF=∠FCG，
又∵∠AFE=∠GFC，
∵AF=FC，
∴△AFE∽△GFC，
∴

EF

CF

=

AF

FG

，
即

EF

CF

=

CF

FD

，
∴FC²=FE·FD．