试题

题目：
图（1）是一个面积为1的黑色正三角形，顺次连接它的三边的中点，得到如图（2）所示的第2个图形（它的中间为一个白色的正三角形）；在图（2）的每个黑色的正三角形中分别重复上述的作法，得到如图（3）所示的第3个图形．如此继续作下去，则在得到的第5个图形中，所有黑色三角形的面积和是
(
3
4
)4
(
3
4
)4
．
青果学院
答案
(
3
4
)4

青果学院
解：∵D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，
∴
DE
AC
=
EF
AB
=
DF
BC
 =
1
2
，
∴△DEF∽△ABC，
∴
S△DEF
S△ABC
=（
DE
AC
）2=（
1
2
）2，
∴S△DEF=
1
4
，
∴图②中所有黑色三角形的面积和是：1-
1
4
=
3
4
，
同理：图三中各黑色三角形的面积和为：1-
1
16
×3-
1
4
=
9
16
=（
3
4
）2，
∴可得第n个图形中所有黑色三角形的面积和是：（
3
4
）n-1．
∴在得到的第5个图形中，所有黑色三角形的面积和是：（
3
4
）4．
故答案为：（
3
4
）4．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．
首先将所给的图②与图③中的黑色三角形的面积和求出来，注意利用相似三角形的面积比等于相似比的平方．然后得到规律：第n个图形中所有黑色三角形的面积和是：（
3
4
）n-1，代入即可求得．
此题考查了相似三角形的面积比等于相似比的平方．此题还考查了学生的分归纳能力．解题时要注意仔细分析．
规律型．
找相似题