试题

题目：
青果学院如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于E，若AE=2，BE=6，∠CEA=30°，则CD的长为
2
15
2
15
；C点到AB的距离与D点到AB距离的比为
3-
5
2
3-
5
2
．
答案
2
15

3-
5
2

解：（1）连接OD，作OF⊥DE于F，
∵AE=2，BE=6，
∴AB=2+6=8，
∴圆的半径是4，
∴OE=4-2=2，青果学院
∵∠CEA=30°，
∴OF=
1
2
OE=1，
在Rt△DOF中，DF=
OD2-OF2
=
42-12
=
15
，
∴CD=2DF=2
15
；

（2）过点D作DH⊥AB于H，过点C作CG⊥AB于G，
在Rt△OEF中，EF=
OE2-OF2
=
22-12
=
3
，
∵CG⊥AB，DH⊥AB，
∴∠CGE=∠DHE=90°，
又∠CEG=∠DEH，
∴△CGE∽△DEH，
∴
CG
DH
=
CE
DE
，
即
CG
DH
=
15
-
3
15
+
3
=
(
15
-
3
)(
15
-
3
) 
(
15
+
3
)(
15
-
3
) 
=
3-
5
2
．
故答案为：
3-
5
2
．
考点梳理
圆周角定理；含30度角的直角三角形；垂径定理；相似三角形的判定与性质．
连接OD，作OF⊥DE于F，根据已知条件可得圆的半径是4，从而得到OE=2，再根据30°所对的直角边等于斜边的一半得到OF=1，然后在Rt△DOF中，利用勾股定理求出DF的长度，即可得到CD的长度；
过点D作DH⊥AB于H，过点C作CG⊥AB于G，先求出EF的长度，然后表示出CE、DE，根据相似三角形对应边成比例列式再分母有理化即可得解．
本题考查了圆周角定理，30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，相似三角形对应边成比例，垂径定理，读懂题意，看明白图形是解题的关键．
综合题．
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