试题

题目:
青果学院如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD.点P为底边BC的延长线上任意一点,PE⊥AB于E,PF⊥DC于F,BM⊥DC于M.请你探究线段PE、PF、BM之间的数量关系:
PE=PF+BM
PE=PF+BM

答案
PE=PF+BM

青果学院解:PE=PF+BM.
过点B作BH∥CD,交PF的延长线于点H,
∵PF⊥CD,BG⊥CD,∠PBH=∠DCB,
∴BM∥FH,PH⊥BH,
∴四边形BMFH是平行四边形,∠H=90°,
∴FH=BM,
∵等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,
∴∠ABC=∠DCB,
∴∠ABC=∠PBH,
∵PE⊥AB,
∴∠PEB=∠H=90°,
在△PBE和△PBH中,
∠PEB=∠H
∠PBE=∠PBH
PB=PB

∴△PBE≌△PBH(AAS),
∴PH=PE,
∴PE=PF+FH=PF+BM.
考点梳理
相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;等腰梯形的性质.
首先过点B作BH∥CD,交PF的延长线于点H,易证得四边形BMFH是平行四边形,即可得BG=FH,又可证得△PBE≌△PBH,即可得PH=PE,继而证得PE=PF+BM.
此题考查了等腰梯形的性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.
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