试题

题目：
青果学院如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AD垂直于过点C的直线，垂足为D，且AC平分∠BAD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AC=2
5
，CD=2，求⊙O的直径．
答案
（1）证明：连接OC，青果学院
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠OAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AD∥OC，
∴∠ADC=∠OCF，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC=90°，
∴∠OCF=90°，
∴OC⊥CD，
∵OC为半径，
∴CD是⊙O的切线．

（2）解：连接BC，青果学院
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°=∠ADC，
∵∠DAC=∠BAC，
∴△ADC∽△ACB，
∴
AC
AB
=
AD
AC
，
在Rt△ADC中，AC=2
5
，CD=2，
∴AD=4，
∴
2
5
AB
=
4
2
5
，
∴AB=5．
（1）证明：连接OC，青果学院
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠OAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AD∥OC，
∴∠ADC=∠OCF，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC=90°，
∴∠OCF=90°，
∴OC⊥CD，
∵OC为半径，
∴CD是⊙O的切线．

（2）解：连接BC，青果学院
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°=∠ADC，
∵∠DAC=∠BAC，
∴△ADC∽△ACB，
∴
AC
AB
=
AD
AC
，
在Rt△ADC中，AC=2
5
，CD=2，
∴AD=4，
∴
2
5
AB
=
4
2
5
，
∴AB=5．
考点梳理
切线的判定；相似三角形的判定与性质．
（1）连接OC，推出∠DAC=∠OCA=∠CAO，推出OC∥AD，推出OC⊥DF，根据切线判定推出即可；
（2）连接BC，证△DAC∽△CAB，得出比例式，代入求出即可．
本题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，圆周角定理，平行线性质和判定，等腰三角形性质，切线的判定的应用，主要考查学生的推理能力．
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