试题

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，点E是弧CB的中点，EF⊥AC于F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）连接CE、AE、CO，AE交CO于N，若CE=6，AE=8，求

AN

NE

的值．

（1）证明：如图1，连接OE．
∵点E是弧CB的中点，
∴∠CAE=∠EAO=∠OEA，
∴OE∥AC．
又∵EF⊥AC于F，
∴OE⊥EF．
又∵OE是⊙O的半径，
∴EF是圆点O的切线；

（2）如图2，连接BE．则BE=CE=6，∠AEB=90°，
又∵AE=8，
∴AB=10．
方法一：∵△FAE∽△EAB，
∴AE²=AF·AB，
∴AF=6.4；
作OM⊥AF于M，则四边形MOEF是正方形，
∴AM=AF-OE=1.4，
∴AC=2AM=2.8，
∴

AN

NE

=

AC

OE

=

2.8

5

=

14

25

．

方法二：如图1，连接BC交OE于H，则BC∥EF，
OE⊥BC，则5²-OH²=6²-（5-OH）²=BH²，
∴OH=1.4，
∴

AN

NE

=

AC

OE

=

2·HO

OE

=

14

25

．
（1）证明：如图1，连接OE．
∵点E是弧CB的中点，
∴∠CAE=∠EAO=∠OEA，
∴OE∥AC．
又∵EF⊥AC于F，
∴OE⊥EF．
又∵OE是⊙O的半径，
∴EF是圆点O的切线；

（2）如图2，连接BE．则BE=CE=6，∠AEB=90°，
又∵AE=8，
∴AB=10．
方法一：∵△FAE∽△EAB，
∴AE²=AF·AB，
∴AF=6.4；
作OM⊥AF于M，则四边形MOEF是正方形，
∴AM=AF-OE=1.4，
∴AC=2AM=2.8，
∴

AN

NE

=

AC

OE

=

2.8

5

=

14

25

．

方法二：如图1，连接BC交OE于H，则BC∥EF，
OE⊥BC，则5²-OH²=6²-（5-OH）²=BH²，
∴OH=1.4，
∴

AN

NE

=

AC

OE

=

2·HO

OE

=

14

25

．