试题

题目：
青果学院如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q．
（1）求证：△PCQ∽△RDQ；
（2）求BP：PQ：QR的值．
答案
（1）证明：∵四边形ACED是平行四边形，
∴AC∥DE，
∴△PCQ∽△RDQ；

（2）解：∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，
∴BC=AD=CE，AC∥DE，
∴△PBC∽△RBE，
∴
PB
PR
=
BC
CE
，
PC
RE
=
BC
BE
=
1
2
，
∴RB=2PB，
∵点R为DE的中点，△PCQ∽△RDQ，
∴
PQ
QR
=
PC
DR
=
PC
RE
=
1
2
，
∴QR=2PQ，
∵BP=PR=PQ+QR=3PQ，
∴BP：PQ：QR=3：1：2．
（1）证明：∵四边形ACED是平行四边形，
∴AC∥DE，
∴△PCQ∽△RDQ；

（2）解：∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，
∴BC=AD=CE，AC∥DE，
∴△PBC∽△RBE，
∴
PB
PR
=
BC
CE
，
PC
RE
=
BC
BE
=
1
2
，
∴RB=2PB，
∵点R为DE的中点，△PCQ∽△RDQ，
∴
PQ
QR
=
PC
DR
=
PC
RE
=
1
2
，
∴QR=2PQ，
∵BP=PR=PQ+QR=3PQ，
∴BP：PQ：QR=3：1：2．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
（1）由四边形ACED是平行四边形，可得AC∥DE，又由平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，即可证得：△PCQ∽△RDQ；
（2）由四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，可证得△PBC∽△RBE，继而可得
PC
RE
=
BC
BE
=
1
2
，PB=PR，又由点R为DE的中点，△PCQ∽△RDQ，可得
PQ
QR
=
PC
DR
=
PC
RE
=
1
2
，继而可求得BP：PQ：QR的值．
此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．
找相似题