试题

题目：
青果学院如图，小聪画了一个矩形ABCD，又取CD的中点E，使BE⊥AC交AC于F，再过F作FG∥AB交AE于G，他又量出AG=4.25cm，CF=3cm．
（1）他通过观察，猜想：△EGF∽
△EAB
△EAB
．证明：
（2）请你通过计算帮他算出AC的长．
答案
△EAB

（1）答：△EGF∽△EAB．
证明：∵FG∥AB，
∴∠EGF=∠EAB，∠EFG=∠EBA，
∴△EGF∽△EAB；

（2）解：∵E是CD的中点，矩形的对边AB=CD，
∴CE=
1
2
CD=
1
2
AB，
∵AB∥CD，
∴△ABF∽△CEF，
∴
CE
AB
=
CF
AF
，
∴AF=
AB
CE
·CF=2CF=2×3=6cm，
∴AC=AF+CF=6+3=9cm．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；矩形的性质．
（1）根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似确定三角形并进行证明；
（2）先求出△ABF和△CEF相似，再根据相似三角形对应边成比例列式求出AF=2CF，然后再根据AC=AF+CF计算即可得解．
本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，比较简单，熟记平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似是解题的关键．
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