题目:
如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,BC=3,∠BAD=120°,E为BC上一动点(

不与B重合),作EF⊥AB于F,FE,DC的延长线交于点G,设BE=x,△DEF的面积为S.
(1)求用x表示S的函数表达式,并写出x的取值范围;
(2)是否存在一点E,使S
△DEF:S
ABCD=1:2?若存在,求出相应的x;若不存在,说明理由.
答案
解:(1)∵平行四边形ABCD,
∴AD∥BC,
∴∠A+∠B=180°,
又∵∠BAD=120°,
∴∠B=60°,
又∵EF⊥AB,且AB∥DC,
∴∠BFG=∠EGC=90°,
∴∠FEB=30°,又BE=x,
∴BF=
BE=
x(直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半),
根据勾股定理得:EF=
x,
在Rt△ECG中,由BC=3,DC=4,则EC=BC-BE=3-x,
∵∠CEG=∠FEB=30°,
∴CG=
EC=
(3-x),
∴DG=DC+CG=4+
(3-x),
则△DEF的面积为S=
EF·DG=
×
x×[4+
(3-x)]=-
x
2+
x(0<x≤3);

(2)存在,当E与C重合时,S
△DEF:S
ABCD=1:2,理由如下:
过D作平行四边形BC边上的高,角BC的延长线与点M,如图所示,
∵平行四边形ABCD,
∴AB∥DC,
∴∠DCM=∠B=60°,
在Rt△DCM中,DC=4,∠CDM=30°,
∴CM=
DC=2,
根据勾股定理求得:DM=2
,
∴平行四边形ABCD的面积为BC·DM=3×2
=6
,
由S
△DEF:S
ABCD=1:2,得到S
△DEF=
S
ABCD=3
,
根据第一问可知:S=-
x
2+
x=3
,
整理得:(x-3)(x-8)=0,
解得:x=3或x=8(舍去).
则存在一点E,当E与C重合时,S
△DEF:S
ABCD=1:2,此时x=3.
解:(1)∵平行四边形ABCD,
∴AD∥BC,
∴∠A+∠B=180°,
又∵∠BAD=120°,
∴∠B=60°,
又∵EF⊥AB,且AB∥DC,
∴∠BFG=∠EGC=90°,
∴∠FEB=30°,又BE=x,
∴BF=
BE=
x(直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半),
根据勾股定理得:EF=
x,
在Rt△ECG中,由BC=3,DC=4,则EC=BC-BE=3-x,
∵∠CEG=∠FEB=30°,
∴CG=
EC=
(3-x),
∴DG=DC+CG=4+
(3-x),
则△DEF的面积为S=
EF·DG=
×
x×[4+
(3-x)]=-
x
2+
x(0<x≤3);

(2)存在,当E与C重合时,S
△DEF:S
ABCD=1:2,理由如下:
过D作平行四边形BC边上的高,角BC的延长线与点M,如图所示,
∵平行四边形ABCD,
∴AB∥DC,
∴∠DCM=∠B=60°,
在Rt△DCM中,DC=4,∠CDM=30°,
∴CM=
DC=2,
根据勾股定理求得:DM=2
,
∴平行四边形ABCD的面积为BC·DM=3×2
=6
,
由S
△DEF:S
ABCD=1:2,得到S
△DEF=
S
ABCD=3
,
根据第一问可知:S=-
x
2+
x=3
,
整理得:(x-3)(x-8)=0,
解得:x=3或x=8(舍去).
则存在一点E,当E与C重合时,S
△DEF:S
ABCD=1:2,此时x=3.
考点梳理
相似三角形的判定与性质;一元二次方程的应用;平行四边形的性质.
(1)由四边形ABCD为平行四边形,得到两组对边平行且相等,可知AD与BC平行,由两直线平行同旁内角互补可知∠A和∠B互补,由∠A的度数求出∠B的度数,又EF与AB垂直,由垂直定义得到∠BFE为直角,进而求出∠FEB为30°,又BE=x,根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半可表示出BF,进而利用勾股定理表示出EF,即为所求三角形的底,然后求EF边上的高,根据题意可知DG即为EF边上的高,下来求DG,在直角三角形CEG中,由对顶角相等可知∠CEG=∠FGB=30°,又EC=BC-BE,表示出EC,再根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半可表示出CG,根据CG+DC即可表示出DG,最后利用三角形的面积公式即可用x表示出△DEF的面积为S,再根据E为BC上一动点,且不与B重合可知x的范围;
(2)存在,当E与C重合时,S△DEF:SABCD=1:2,理由为:过D作BC边上的垂线,交BC的延长线与M,DM即为平行四边形BC边上的高,由AB与DC平行,根据两直线平行,同位角相等可知∠DCM=∠B=60°,又∠DMC=90°,可求出∠CDM=30°,根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出CM的长,再利用勾股定理即可求出DM的长,然后利用平行四边形的面积公式底乘以高即可求出平行四边形ABCD的面积,又S△DEF:SABCD=1:2,可知三角形DEF的面积等于平行四边形面积的一半,进而求出三角形DEF的面积,令第一问表示出的S等于求出的面积,列出关于x的方程,求出方程的解得到x的值,故存在.
此题考查了平行四边形的性质,直角三角形的性质,以及一元二次方程的应用,利用了函数及方程的思想.由题意得出DG为三角形DEF中EF边上的高是第一问的突破点,探究存在性问题常先假设结论成立,看是否导致矛盾,还是达到与已知条件相符,从而确定探究的结论是否正确,这种方法称为“假设验证法”,本题第二问利用的是此方法.
几何综合题.