试题

题目：
青果学院如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，△ACP∽△PDB，
（1）请你说明CD2=AC·BD；
（2）求∠APB的度数．
答案
（1）证明：∵△ACP∽△PDB，
∴AC：PD=PC：BD，
∴PD·PC=AC·BD，
∵△PCD是等边三角形，
∴PC=CD=PD，
∴CD2=AC·BD；

（2）解：∵△ACP∽△PDB，
∴∠A=∠BPD，
∵△PCD是等边三角形，
∴∠PCD=∠CPD=60°，
∴∠PCD=∠A+∠APC=60°，
∴∠APC+∠BPD=60°，
∴∠APB=∠APC+∠CPD+∠BPD=120°．
（1）证明：∵△ACP∽△PDB，
∴AC：PD=PC：BD，
∴PD·PC=AC·BD，
∵△PCD是等边三角形，
∴PC=CD=PD，
∴CD2=AC·BD；

（2）解：∵△ACP∽△PDB，
∴∠A=∠BPD，
∵△PCD是等边三角形，
∴∠PCD=∠CPD=60°，
∴∠PCD=∠A+∠APC=60°，
∴∠APC+∠BPD=60°，
∴∠APB=∠APC+∠CPD+∠BPD=120°．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
（1）由△ACP∽△PDB，根据相似三角形的对应边成比例，可得AC：PD=PC：BD，又由△PCD是等边三角形，即可证得CD2=AC·BD；
（2）由△ACP∽△PDB，根据相似三角形对应角相等，可得∠A=∠BPD，又由△PCD是等边三角形，即可求得∠APB的度数．
此题考查了相似三角形的性质与等边三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
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