试题

题目：
青果学院已知：如图，AD和BC相交于E点，∠EAB=∠ECD．
（1）求证：AB·DE=CD·BE；
（2）连接BD、AC，若AB∥CD，则结论“四边形ABDC一定是梯形”是否正确，若正确请证明；若不正确，请举出反例．
答案
解：（1）证明：∵∠EAB=∠ECD，∠BEA=∠DEC，
∴△BEA∽△DEC，
∴
AB
DC
=
BE
DE
，
∴AB·DE=CD·BE．

（2）不正确．
青果学院
当 
AB
DC
=
BE
DE
=1时，AB=CD，
又∵AB∥CD，
∴此时四边形ABDC是平行四边形，不是梯形．
解：（1）证明：∵∠EAB=∠ECD，∠BEA=∠DEC，
∴△BEA∽△DEC，
∴
AB
DC
=
BE
DE
，
∴AB·DE=CD·BE．

（2）不正确．
青果学院
当 
AB
DC
=
BE
DE
=1时，AB=CD，
又∵AB∥CD，
∴此时四边形ABDC是平行四边形，不是梯形．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定；矩形的性质；梯形．
（1）根据相似三角形的判定定理，结合题意所给条件可得出ABE△∽△CDE，继而根据相似三角形的对应边成比例可得出结论．
（2）结合题意，如果满足四边形ABDC是梯形，则
AB
CD
≠1，而现在在不确定AB与CD的大小关系的时候是不能判断“四边形ABDC一定是梯形”．
此题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握相似三角形的判定定理及相似三角形的对应边成比例的性质，难度一般．
几何综合题．
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