试题

题目：
青果学院如图，在⊙O内接△ABC中，AB+AC=12，AD⊥BC于D，且AD=3，当⊙O的面积最大时，⊙O的半径是
6
6
．
答案
6

青果学院解：作直径AE，连接CE，如图所示，则∠ACE=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ACE=∠ADB=90度．
又∵∠B=∠E，
∴△ABD∽△AEC
设⊙O的半径为y，AB的长为x．
则
AB
AD
=
AE
AC
，即
x
3
=
2y
12-x
．
整理得y=-
1
6
（x-6）2+6．
∴y=-
1
6
（x-6）2+6，
则当x=6时，y取得最大值，最大值为6．
故答案为：6．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；圆周角定理．
由题意知，需作出圆的直径AE，利用直径所对的圆周角是直角，得出△ABD∽△AEC．根据相似三角形的性质得到边之间的对应比相等，建立函数关系式；根据二次函数的最值的求法，结合函数关系式进行求解．
此题主要考查三角形相似及二次函数最大值的求法．题目难度较大．
找相似题