试题

题目：
青果学院如图，等边△ABC中，AB=6，D、E分别为AB、AC上的点，将△ADE沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，若CF=2BF，则AE的长为
7
2
7
2
．
答案
7
2

解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=6，
∵沿DE折叠A落在BC边上的点F上，
∴△ADE≌△FDE，
∴∠DFE=∠A=60°，AD=DF，AE=EF，
设AD=DF=x，AE=EF=y，
则CE=6-y，
∵CF=2BF，BC=6，
∴BF=2，CF=4，
∵∠C=60°，∠DFE=60°，
∴∠EFC+∠FEC=120°，∠DFB+∠EFC=120°，
∴∠DFB=∠FEC，
∵∠C=∠B，青果学院
∴△DBF∽△FCE，
∴
DF
EF
=
BD
CF
=
BF
CE
，
∴
x
y
=
6-x
4
=
2
6-y
，
即
4x=(6-x)y①
8=(6-x)(6-y)②
，
解得：x=2.8，y=
7
2
，
AE=
7
2
．
故答案为：
7
2
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质；翻折变换（折叠问题）．
根据折叠得出∠DFE=∠A=60°，AD=DF，AE=EF，设AD=DF=x，AE=EF=y，求出∠DFB=∠FEC，证△DBF∽△FCE，得出
DF
EF
=
BD
CF
=
BF
CE
，代入得到
x
y
=
6-x
4
=
2
6-y
，求出即可．
本题考查了等边三角形性质，折叠性质，相似三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度．
压轴题．
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