试题

已知△ABC中，AC=4，BC=5，AB=6．
（1）如图，点D为边AC上任意一点，点E在边AB上，且△ADE与△ABC相似．
①请在图中画出所有符合题意的△ADE（不必尺规作图）；
②若AD=m，试用m的代数式表示AE的长；
（2）点M、N分别在边AB、BC上，且△BMN与△ABC相似，若AM=x，试求当符合题意的△BMN唯一时，x的取值范围（请写出必要的解题过程）．

解：（1）①如图所示
，
②情况一：∵△AED∽△ABC，且∠AED=∠ABC，
∴

AE

AB

=

AD

AC

，
∴AE=

3

2

m；（1分）
情况二：∵△ADE∽△ABC，且∠AED=∠ACB，
∴

AE

AC

=

AD

AB

，
∴AE=

2

3

m；（1分）

（2）∵当MN∥AC时，△BMN与△ABC相似总是存立，
∴只要求出点N与点C重合，且△BMN∽△BCA时AM的长即可．（1分）
当△BMN∽△BCA（N与C重合）时，有∠BMN=∠ACB，则

BC

BM

=

BA

BC

，
即

5

6-x

=

6

5

，
∴x=

11

6

（1分）
∴当符合题意的△BMN唯一时，x的取值范围是0≤x＜

11

6

．（2分）
解：（1）①如图所示
，
②情况一：∵△AED∽△ABC，且∠AED=∠ABC，
∴

AE

AB

=

AD

AC

，
∴AE=

3

2

m；（1分）
情况二：∵△ADE∽△ABC，且∠AED=∠ACB，
∴

AE

AC

=

AD

AB

，
∴AE=

2

3

m；（1分）

（2）∵当MN∥AC时，△BMN与△ABC相似总是存立，
∴只要求出点N与点C重合，且△BMN∽△BCA时AM的长即可．（1分）
当△BMN∽△BCA（N与C重合）时，有∠BMN=∠ACB，则

BC

BM

=

BA

BC

，
即

5

6-x

=

6

5

，
∴x=

11

6

（1分）
∴当符合题意的△BMN唯一时，x的取值范围是0≤x＜

11

6

．（2分）