试题

题目：
青果学院如图，在矩形ABCD中，P是BC边上一点，连接DP并延长，交AB的延长线于点Q．
（1）若
BP
PC
=
1
3
，且S△BPQ=1cm2；求
AB
AQ
，S矩形ABCD值；
（2）P点在BC边上运动时，
BC
BP
-
BA
BQ
的值是否变化？说明理由．
答案
解：（1）四边形ABCD为矩形．
∵AB=CD，AB∥DC，
∴△DPC∽△QPB，
∴
BQ
DC
=
PB
CP
=
1
3
，
∴AD=BC=4PB，
∴
AB
AQ
=
3BQ
3BQ+BQ
=
3
4
，
∴DC=3BQ
S矩形ABCD=AB×AD=3BQ×4PB=12×BQ×PB=12×2×
1
2
BQ×PB=24．
答：
AB
AQ
=
3
4
，S矩形ABCD=24．

（2）当P点在BC边上运动时，
BC
BP
-
BA
BQ
的值不变化，即
BC
BP
-
BA
BQ
=1．其理由如下：
由△DPC∽△QPB，
得
DC
BQ
=
PC
BP
，
∴
AB
BQ
=
PC
BP
，
∴
BC
BP
-
AB
BQ
=
BP+PC
BP
-
AB
BQ
=1+
PC
BP
-
AB
BQ
=1，
∴当P点在BC边上无论怎么运动，
BC
BP
-
BA
BQ
的值不变化．
解：（1）四边形ABCD为矩形．
∵AB=CD，AB∥DC，
∴△DPC∽△QPB，
∴
BQ
DC
=
PB
CP
=
1
3
，
∴AD=BC=4PB，
∴
AB
AQ
=
3BQ
3BQ+BQ
=
3
4
，
∴DC=3BQ
S矩形ABCD=AB×AD=3BQ×4PB=12×BQ×PB=12×2×
1
2
BQ×PB=24．
答：
AB
AQ
=
3
4
，S矩形ABCD=24．

（2）当P点在BC边上运动时，
BC
BP
-
BA
BQ
的值不变化，即
BC
BP
-
BA
BQ
=1．其理由如下：
由△DPC∽△QPB，
得
DC
BQ
=
PC
BP
，
∴
AB
BQ
=
PC
BP
，
∴
BC
BP
-
AB
BQ
=
BP+PC
BP
-
AB
BQ
=1+
PC
BP
-
AB
BQ
=1，
∴当P点在BC边上无论怎么运动，
BC
BP
-
BA
BQ
的值不变化．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；矩形的性质．
（1）根据矩形的性质推出△DPC∽△QPB，得到比例式，求出AD=BC=4PB，DC=3BQ，代入求出矩形的面积即可；
（2）根据相似得到比例式，代入求出即可．
本题主要考查对矩形的性质，相似三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能根据比例式推出正确的结论是解此题的关键．
证明题．
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