试题

如图，在正方形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，BM=BN，BP⊥CM于点P，连接PD、PN．
（1）求证：

BP

PC

=

BN

DC

；
（2）若tan∠DCM=

5

2

，且△PBN的面积为1，求△PDC的面积．

（1）证明：∵正方形ABCD中，∠ABC=90°，BC=DC，
∴∠MBP+∠PBC=90°．
∵BP⊥CM，
∴∠PBC+∠BCP=90°．
∴∠MBP=∠BCP，
又∵∠BPM=∠CPB=90°，
∴△BPM∽△CPB，
∴

BP

PC

=

BM

BC

，
∵BC=DC，BM=BN，
∴

BP

PC

=

BN

DC

；

（2）解：∵正方形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠MBP+∠PBN=∠BCP+∠PCD．
又∵∠MBP=∠BCP，
∴∠PBN=∠PCD，
∵

BP

PC

=

BN

DC

．
∴△PBN∽△PCD，
在正方形ABCD中，AB∥CD，
∴∠DCM=∠BMC，
∵tan∠DCM=

5

2

，
∴tan∠BMC=

5

2

，
在Rt△MBC中，即

BC

BM

=

5

2

；
∵BC=DC，BM=BN，
∴

DC

BN

=

5

2

，
∴

S△PBN

S△PCD

=(

BN

DC

)2，
∵S_△PBN=1，
∴S_△PCD=

25

4

．
（1）证明：∵正方形ABCD中，∠ABC=90°，BC=DC，
∴∠MBP+∠PBC=90°．
∵BP⊥CM，
∴∠PBC+∠BCP=90°．
∴∠MBP=∠BCP，
又∵∠BPM=∠CPB=90°，
∴△BPM∽△CPB，
∴

BP

PC

=

BM

BC

，
∵BC=DC，BM=BN，
∴

BP

PC

=

BN

DC

；

（2）解：∵正方形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠MBP+∠PBN=∠BCP+∠PCD．
又∵∠MBP=∠BCP，
∴∠PBN=∠PCD，
∵

BP

PC

=

BN

DC

．
∴△PBN∽△PCD，
在正方形ABCD中，AB∥CD，
∴∠DCM=∠BMC，
∵tan∠DCM=

5

2

，
∴tan∠BMC=

5

2

，
在Rt△MBC中，即

BC

BM

=

5

2

；
∵BC=DC，BM=BN，
∴

DC

BN

=

5

2

，
∴

S△PBN

S△PCD

=(

BN

DC

)2，
∵S_△PBN=1，
∴S_△PCD=

25

4

．