试题

题目：
青果学院已知：如图，在△ABC中，DE∥BC，AD2=AE·AC．求证：
（1）△BCD∽△CDE；
（2）
CD2
BC2
=
AD
AB
．
答案
证明：（1）∵AD2=AE·AC，
∴
AD
AE
=
AC
AD
，
∵∠A是公共角，
∴△ADC∽△AED，
∴∠ACD=∠ADE，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠BCD=∠CDE，
∴∠ECD=∠B，
∴△BCD∽△CDE；

（2）∵△BCD∽△CDE，
∴
CD
BC
=
DE
CD
，
∴DE=
CD2
BC
，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
AD
AB
=
DE
BC
，
∴
CD2
BC2
=
AD
AB
．
证明：（1）∵AD2=AE·AC，
∴
AD
AE
=
AC
AD
，
∵∠A是公共角，
∴△ADC∽△AED，
∴∠ACD=∠ADE，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠BCD=∠CDE，
∴∠ECD=∠B，
∴△BCD∽△CDE；

（2）∵△BCD∽△CDE，
∴
CD
BC
=
DE
CD
，
∴DE=
CD2
BC
，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
AD
AB
=
DE
BC
，
∴
CD2
BC2
=
AD
AB
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质．
（1）由AD2=AE·AC，易证得△ADC∽△AED，即可得∠ACD=∠ADE，又由DE∥BC，易证得∠ECD=∠B，则可证得△BCD∽△CDE；
（2）由△BCD∽△CDE，根据相似三角形的对应边成比例，即可得
CD
BC
=
DE
CD
，又由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，即可得
AD
AB
=
DE
BC
，继而得到结论．
此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
证明题．
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