试题

题目：
如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D、E分别是边AB、AC上的两个动点（D不与A、B重合）青果学院，且保持DE∥BC，以ED为边，在点A的异侧作正方形DEFG．
（1）试求△ABC的面积；
（2）当边FG与BC重合时，求正方形DEFG的边长；
（3）设AD=x，当△BDG是等腰三角形时，求出AD的长．
答案
青果学院解：（1）过A作AH⊥BC于H，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BH=
1
2
BC=3，
∴AH=
AB2-BH2
=
52-32
=4，
∴S△ABC=
1
2
BC·AH=
1
2
×6×4=12．

（2）令此时正方形的边长为a，
∵DE∥BC，
∴
a
6
=
4-a
4
，
∴a=
12
5
．

（3）当AD=x时，由△ADE∽△ABC得
AD
AB
=
DE
BC
，
即
x
5
=
DE
6
，解得DE=
6
5
x，
当BD=DG时，5-x=
6
5
x，x=
25
11
，
当BD=BG时，
5-x
5
=
3
5
x
4
，解得x=
20
7
，
当BG=DG时，
5-x
2
4
=
6
5
x
5
，解得x=
125
73
，
∴当△BDG是等腰三角形时，AD=
25
11
或
20
7
或
125
73
．
青果学院解：（1）过A作AH⊥BC于H，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BH=
1
2
BC=3，
∴AH=
AB2-BH2
=
52-32
=4，
∴S△ABC=
1
2
BC·AH=
1
2
×6×4=12．

（2）令此时正方形的边长为a，
∵DE∥BC，
∴
a
6
=
4-a
4
，
∴a=
12
5
．

（3）当AD=x时，由△ADE∽△ABC得
AD
AB
=
DE
BC
，
即
x
5
=
DE
6
，解得DE=
6
5
x，
当BD=DG时，5-x=
6
5
x，x=
25
11
，
当BD=BG时，
5-x
5
=
3
5
x
4
，解得x=
20
7
，
当BG=DG时，
5-x
2
4
=
6
5
x
5
，解得x=
125
73
，
∴当△BDG是等腰三角形时，AD=
25
11
或
20
7
或
125
73
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质．
（1）作底边上的高，利用勾股定理求出高就可以求出面积．
（2）根据DE∥BC，得到△ADE∽△ABC，再根据相似三角形对应高的比等于相似比即可求出边DE的长度．
（3）根据△ADE∽△ABC得
AD
AB
=
DE
BC
，求出AD的长．
本题考查了正方形、等腰三角形的性质，相似比等相关知识．综合性较强，解题时要仔细．
计算题．
找相似题