试题

如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm，某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动．
（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的

1

9

？
（2）是否存在时刻t，使A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）设经过x秒，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的

1

9

，
由题意得DN=2x，AN=6-2x，AM=x，
∵矩形ABCD中AB=3，BC=6，
∴AD=BC=6，CD=AB=3，
矩形ABCD的面积为：AB·AD=3×6=18，
△AMN的面积=

1

2

AN·AM=

1

2

·x(6-2x)=3x-x2=

1

9

×18，
可得方程x²-3x+2=0，
解得x₁=1，x₂=2，
答：经过1秒或2秒，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的

1

9

；

（2）由题意得DN=2t，AN=6-2t，AM=t，
若△NMA∽△ACD，
则有

AD

AN

=

CD

AM

，即

6

6-2x

=

3

x

，
解得x=1.5，
若△MNA∽△ACD
则有

AD

AM

=

CD

AN

，即

6

x

=

3

6-2x

，
解得x=2.4，
答：当t=1.5秒或2.4秒时，以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似．
解：（1）设经过x秒，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的

1

9

，
由题意得DN=2x，AN=6-2x，AM=x，
∵矩形ABCD中AB=3，BC=6，
∴AD=BC=6，CD=AB=3，
矩形ABCD的面积为：AB·AD=3×6=18，
△AMN的面积=

1

2

AN·AM=

1

2

·x(6-2x)=3x-x2=

1

9

×18，
可得方程x²-3x+2=0，
解得x₁=1，x₂=2，
答：经过1秒或2秒，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的

1

9

；

（2）由题意得DN=2t，AN=6-2t，AM=t，
若△NMA∽△ACD，
则有

AD

AN

=

CD

AM

，即

6

6-2x

=

3

x

，
解得x=1.5，
若△MNA∽△ACD
则有

AD

AM

=

CD

AN

，即

6

x

=

3

6-2x

，
解得x=2.4，
答：当t=1.5秒或2.4秒时，以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似．