试题

题目：
青果学院如图：在正方形ABCD中，E为BC中点，点F在CD边上，且DF=3FC，连接AE、AF、EF，
（1）求证△ECF∽△ABE；
（2）图中是否存在与∠EAF相等的角？若存在，请写出并加以证明；若不存在，请说明理由．
答案
证明：（1）由正方形ABCD得AB=BC=CD，∠B=∠C=90°（2分）
∵E为BC中点，DF=3FC，
∴BE=EC=
1
2
AB，FC=
1
4
CD=
1
4
AB，
∴
FC
EC
=
BE
AB
=
1
2
（2分）
在△ECF和△ABE中，
∵
FC
EC
=
BE
AB
且∠B=∠C
∴△ECF∽△ABE（1分）．

（2）图中存在与∠EAF相等的角，分别是∠BAE和∠FEC（2分）．
∵△ECF∽△ABE，∴∠FEC=∠BAE，且
EF
AE
=
EC
AB
=
BE
AB
（2分）．
在△ABE中，∵∠B=90°，∴∠BEA+∠BAE=90°∴∠FEC+∠BEA=90°，
∴∠AEF=90°，∠AEF=∠B（1分）
又∵
EF
AE
=
BE
AB
，∴△AEF∽△ABE，
∴∠EAF=∠BAE同理∠FEC=∠EAF（2分）．
证明：（1）由正方形ABCD得AB=BC=CD，∠B=∠C=90°（2分）
∵E为BC中点，DF=3FC，
∴BE=EC=
1
2
AB，FC=
1
4
CD=
1
4
AB，
∴
FC
EC
=
BE
AB
=
1
2
（2分）
在△ECF和△ABE中，
∵
FC
EC
=
BE
AB
且∠B=∠C
∴△ECF∽△ABE（1分）．

（2）图中存在与∠EAF相等的角，分别是∠BAE和∠FEC（2分）．
∵△ECF∽△ABE，∴∠FEC=∠BAE，且
EF
AE
=
EC
AB
=
BE
AB
（2分）．
在△ABE中，∵∠B=90°，∴∠BEA+∠BAE=90°∴∠FEC+∠BEA=90°，
∴∠AEF=90°，∠AEF=∠B（1分）
又∵
EF
AE
=
BE
AB
，∴△AEF∽△ABE，
∴∠EAF=∠BAE同理∠FEC=∠EAF（2分）．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；正方形的性质．
（1）根据正方形的性质得出AB=BC=CD，∠B=∠C=90°，再根据已知条件得出
FC
EC
=
BE
AB
=
1
2
，能证明△ECF∽△ABE；
（2）先判断图中与∠EAF相等的角，再进行证明，根据△ECF∽△ABE，则∠FEC=∠BAE，且
EF
AE
=
EC
AB
=
BE
AB
，再证明△AEF∽△ABE，则∠EAF=∠BAE，∠FEC=∠EAF．
本题考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，是综合题难度偏大．
计算题．
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