试题

题目：
青果学院如图，在平行四边形ABCD中，E是BD上一点，AE的延长线交DC于点F，交BC的延长线于点G．求证：
（1）△ABE∽△FDE；
（2）AE2=EF·EG．
答案
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABE=∠FDE，∠EAB=∠EFD，
∴△ABE∽△FDE；

（2）由（1）知△ABE∽△FDE，
∴
AE
EF
=
BE
ED
①．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠GBE=∠ADE，∠G=∠DEA，
∴△BEG∽△DEA，
∴
BE
ED
=
EG
AE
②，
由①②可得，
AE
EF
=
EG
AE
，
∴AE2=EF·EG．
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABE=∠FDE，∠EAB=∠EFD，
∴△ABE∽△FDE；

（2）由（1）知△ABE∽△FDE，
∴
AE
EF
=
BE
ED
①．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠GBE=∠ADE，∠G=∠DEA，
∴△BEG∽△DEA，
∴
BE
ED
=
EG
AE
②，
由①②可得，
AE
EF
=
EG
AE
，
∴AE2=EF·EG．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
（1）先由平行四边形的定义得出AB∥CD，再根据平行线的性质得到∠ABE=∠FDE，∠EAB=∠EFD，然后根据两角对应相等的两三角形相似即可证明△ABE∽△FDE；
（2）先由△ABE∽△FDE，根据相似三角形对应边成比例得出
AE
EF
=
BE
ED
①，再证明△BEG∽△DEA，得出
BE
ED
=
EG
AE
②，比较①②，可得
AE
EF
=
EG
AE
，则AE2=EF·EG．
此题考查了相似三角形的判定和性质以及平行四边形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
证明题．
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