试题

题目：
青果学院如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且
AB
AC
=
AD
CE
，∠BAD=∠ECA．
（1）求证：AC2=BC·CD；
（2）若E是△ABC的重心，求AC2：AD2的值．
答案
（1）证明：∵
AB
AC
=
AD
CE
，∠BAD=∠ECA，
∴△BAD∽△ACE，
∴∠B=∠EAC，
∵∠ACB=∠DCA，
∴△ABC∽△DAC，
∴
AC
CD
=
BC
AC
，
∴AC2=BC·CD．

（2）解：∵△BAD∽△ACE，
∴∠BDA=∠AEC，
∴∠CDE=∠CED，
∴CD=CE，
∵E是△ABC的重心，
∴BC=2BD=2CD，AE=
2
3
AD，
∴AC2=BC·CD=2CD2，
∵△BAD∽△ACE，
∴
AD
CE
=
BD
AE
，
∴
2
3
AD2=BD·CE，
∴AD2=
3
2
CD2，
∴
AC2
AD2
=
4
3
．
（1）证明：∵
AB
AC
=
AD
CE
，∠BAD=∠ECA，
∴△BAD∽△ACE，
∴∠B=∠EAC，
∵∠ACB=∠DCA，
∴△ABC∽△DAC，
∴
AC
CD
=
BC
AC
，
∴AC2=BC·CD．

（2）解：∵△BAD∽△ACE，
∴∠BDA=∠AEC，
∴∠CDE=∠CED，
∴CD=CE，
∵E是△ABC的重心，
∴BC=2BD=2CD，AE=
2
3
AD，
∴AC2=BC·CD=2CD2，
∵△BAD∽△ACE，
∴
AD
CE
=
BD
AE
，
∴
2
3
AD2=BD·CE，
∴AD2=
3
2
CD2，
∴
AC2
AD2
=
4
3
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；三角形的重心．
（1）首先利用相似三角形的判定得出△BAD∽△ACE进而求出△ABC∽△DAC，再利用相似三角形的性质得出答案即可；
（2）利用重心的性质得出BC=2BD=2CD，AE=
2
3
AD，进而得出△BAD∽△ACE，即可得出线段之间关系求出即可．
此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及重心的性质等知识，根据已知得出△BAD∽△ACE是解题关键．
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