试题

题目：
青果学院如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，点E在BC的延长线上，且∠BDE=∠ADC．求证：AB·BD=DE·AD．
答案
证明：∵梯形ABCD中，AB=CD，
∴∠A=∠ADC（1分）
∵∠BDE=∠ADC，
∴∠A=∠BDE（1分）
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBE（1分）
∴△ABD∽△DEB（1分）
∴
AB
DE
=
AD
DB
（2分）
∴AB·DB=AD·DE（1分）
证明：∵梯形ABCD中，AB=CD，
∴∠A=∠ADC（1分）
∵∠BDE=∠ADC，
∴∠A=∠BDE（1分）
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBE（1分）
∴△ABD∽△DEB（1分）
∴
AB
DE
=
AD
DB
（2分）
∴AB·DB=AD·DE（1分）
考点梳理
相似三角形的判定与性质；梯形．
根据已知条件知梯形ABCD是等腰梯形，等腰梯形的两个底角∠A=∠ADC，又由已知条件∠BDE=∠ADC可推知∠A=∠BDE；根据两直线AD∥BC，知内错角∠ADB=∠DBE，∴由相似三角形的判定定理AA判知△ABD∽△DEB；然后由相似三角形的对应边成比例得到
AB
DE
=
AD
DB
，即AB·BD=DE·AD．
本题主要考查了等腰梯形的判定与性质、相似三角形的判定与性质．在证明AB·DB=AD·DE时，本题是通过证明△ABD∽△DEB，从而得到相似三角形的对应边的比
AB
DE
=
AD
DB
，即AB·DB=AD·DE的比例式的形式．
证明题．
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