试题

如图在△ABC和△DEF中，AB=AC=DE=DF=5，BC=EF=6，移动△DEF，在整个移动过程中，点E始终在BC边上（点E不经过B、C两点），且DE经过点A，设EF与AC的交点为M．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）证明：∠CEM=∠BAE；
（3）若重叠部分△AEM为等腰三角形，求BE的长．

证明：（1）
∵在△ABC和△DEF中，

AB=DE AC=DF BC=EF

，
∴△ABC≌△DEF（SSS）；

（2）∵△ABC≌△DEF，
∴∠B=∠DEF，
∵∠B+∠BAE=∠AEC=∠DEF+∠MEC，
∴∠CEM=∠BAE；

（3）解：∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME∠C，
∴∠AME＞∠AEF，
∴AE≠AM，
当AM=EM时，
在△ABE和△ECM中，
∵

∠C=∠B ∠CEM=∠BAE AE=EM

，
∴△ABE≌△ECM（AAS），
∴CE=AB=5，
∴BE=BC-EC=1，
当AM=EM时，∠MAE=∠MEA，
∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，
即∠CAB=∠CEA，
又∵∠C=∠C，
∴△CAE∽△CBA，
∴

CE

AC

=

AC

CB

，
∴CE=

AC2

BC

=

25

6

，
∴BE=6-

25

6

=

11

6

．
证明：（1）
∵在△ABC和△DEF中，

AB=DE AC=DF BC=EF

，
∴△ABC≌△DEF（SSS）；

（2）∵△ABC≌△DEF，
∴∠B=∠DEF，
∵∠B+∠BAE=∠AEC=∠DEF+∠MEC，
∴∠CEM=∠BAE；

（3）解：∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME∠C，
∴∠AME＞∠AEF，
∴AE≠AM，
当AM=EM时，
在△ABE和△ECM中，
∵

∠C=∠B ∠CEM=∠BAE AE=EM

，
∴△ABE≌△ECM（AAS），
∴CE=AB=5，
∴BE=BC-EC=1，
当AM=EM时，∠MAE=∠MEA，
∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，
即∠CAB=∠CEA，
又∵∠C=∠C，
∴△CAE∽△CBA，
∴

CE

AC

=

AC

CB

，
∴CE=

AC2

BC

=

25

6

，
∴BE=6-

25

6

=

11

6

．