试题

（2011·保康县模拟）如图，已知在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是边BC延长线上的一点，连接AP交边CD于点E，把射线AP沿直线AD翻折，交射线CD于点Q，设CP=x，DQ=y．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（2）当点P运动时，△APQ的面积是否会发生变化？如果发生变化，请求出△APQ的面积S关于x的函数解析式，并写出定义域；如果不发生变化，请说明理由；
（3）当以4为半径的⊙Q与直线AP相切，且⊙A与⊙Q也相切时，求⊙A的半径．

解：（1）在矩形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠APB=∠DAP，
又由题意，得∠QAD=∠DAP，
∴∠APB=∠QAD，
∵∠B=∠ADQ=90°，
∴△ADQ∽△PBA，（1分）
∴

DQ

AB

=

AD

BP

，即

y

3

=

4

x+4

，
∴y=

12

x+4

，（1分）
定义域为x＞0．（1分）

（2）不发生变化（1分）
证明如下：
∵∠QAD=∠DAP，∠ADE=∠ADQ=90°，AD=AD，
∴△ADE≌△ADQ，
∴DE=DQ=y；（1分）
∴S_△APQ=S_△AEQ+S_△EPQ=

1

2

QE·AD+

1

2

QE·CP=

1

2

QE（AD+CP）=

1

2

QE·BP=DQ·BP=y×（x+4）=12；
所以△APQ的面积没有变化．

（3）过点Q作QF⊥AP于点F
∵以4为半径的⊙Q与直线AP相切，
∴QF=4（1分）
∵S_△APQ=12，
∴AP=6（1分）
在Rt△ABP中，
∵AB=3，
∴∠BPA=30°（1分）
∴∠PAQ=60°，此时AD=4，DE=

4  3

3

，
∴AQ=EQ=2DE=

8 3

3

（1分）
设⊙A的半径为r，
∵⊙A与⊙Q相切，
∴⊙A与⊙Q外切或内切．
（i）当⊙A与⊙Q外切时，AQ=r+4，即

8 3

3

=r+4，
∴r=

8 3

3

-4．（1分）
（ii）当⊙A与⊙Q内切时，AQ=r-4，即

8 3

3

=r-4，则r=

8 3

3

+4
综上所述，⊙A的半径为

8 3

3

-4或

8 3

3

+4．
解：（1）在矩形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠APB=∠DAP，
又由题意，得∠QAD=∠DAP，
∴∠APB=∠QAD，
∵∠B=∠ADQ=90°，
∴△ADQ∽△PBA，（1分）
∴

DQ

AB

=

AD

BP

，即

y

3

=

4

x+4

，
∴y=

12

x+4

，（1分）
定义域为x＞0．（1分）

（2）不发生变化（1分）
证明如下：
∵∠QAD=∠DAP，∠ADE=∠ADQ=90°，AD=AD，
∴△ADE≌△ADQ，
∴DE=DQ=y；（1分）
∴S_△APQ=S_△AEQ+S_△EPQ=

1

2

QE·AD+

1

2

QE·CP=

1

2

QE（AD+CP）=

1

2

QE·BP=DQ·BP=y×（x+4）=12；
所以△APQ的面积没有变化．

（3）过点Q作QF⊥AP于点F
∵以4为半径的⊙Q与直线AP相切，
∴QF=4（1分）
∵S_△APQ=12，
∴AP=6（1分）
在Rt△ABP中，
∵AB=3，
∴∠BPA=30°（1分）
∴∠PAQ=60°，此时AD=4，DE=

4  3

3

，
∴AQ=EQ=2DE=

8 3

3

（1分）
设⊙A的半径为r，
∵⊙A与⊙Q相切，
∴⊙A与⊙Q外切或内切．
（i）当⊙A与⊙Q外切时，AQ=r+4，即

8 3

3

=r+4，
∴r=

8 3

3

-4．（1分）
（ii）当⊙A与⊙Q内切时，AQ=r-4，即

8 3

3

=r-4，则r=

8 3

3

+4
综上所述，⊙A的半径为

8 3

3

-4或

8 3

3

+4．