试题

（2011·鼓楼区一模）如图，射线AM平行于射线BN，AB⊥BN且AB=3，C是射线BN上的一个动点，连接AC，作CD⊥AC且CD=

1

2

AC，过C作CE⊥BN交AD于点E，设BC长为t．
（1）AC长为，△ACD的面积为（用含有t的代数式表示）；
（2）求点D到射线BN的距离（用含有t的代数式表示）；
（3）是否存在点C，使△ACE为等腰三角形？若存在，请求出此时BC的长度；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵AB⊥BN，
∴∠B=90°，
∵AB=3，BC长为t，
∴AC=

AB2+BC2

=

t2+9

；
∵CD=

1

2

AC=

t2+9

2

，
∵CD⊥AC，
∴∠AD=90°，
∴△ACD的面积为：

1

2

AC·CD=

1

2

×

t2+9

2

×

t2+9

=

t2+9

4

；

（2）过D作DF⊥BN交BN于点F，
∵∠ABC=∠CFD=90°，∠FDC=∠ACB，
∴△DFC∽△CBA．
∴

DF

BC

=

DC

AC

=

1

2

，
∴DF=

t

2

，BC=t．
即点D到射线BN的距离为

t

2

；

（3）①如图，当EC=AE时，E为AD中点，EC=

1

2

AD，
此时FC=BC，
∴t=

3

2

；
②如图，∵EC⊥BN，
∴AE≠AC，
③当t=0时，C与B重合，CD=

1

2

AC，
可得DF=t=0，此时△AEC不能为等腰直角三角形，
当t=12时，CE≤DF＜DC＜AC，
∴当0≤t＜12时，∠AEC为钝角，故AC≠CE，△ACE不能为等腰三角形；
当t≥12时，CE≤DF＜DC＜AC，此时△ACE不能为等腰三角形，
综上所述，当BC等于

3

2

时，△ACE为等腰三角形．