试题

（2012·怀柔区二模）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D为AB边上的一动点（D不与A、B重合），过D作DE∥BC，交AC于点E．把△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处．连接BA′，设AD=x，△ADE的边DE上的高为y．

（1）求出y与x的函数关系式；
（2）若以点A′、B、D为顶点的三角形与△ABC 相似，求x的值；
（3）当x取何值时，△A′DB是直角三角形．

解：（1）如图1，
过A点作AM⊥BC，垂足为M，交DE于N点，则BM=

1

2

BC=3，
∵DE∥BC，
∴AN⊥DE，即y=AN．
在Rt△ABM中，AM=

52-32

=4，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴

AD

AB

=

AN

AM

，
∴

x

5

=

y

4

，
∴y=

4x

5

（0＜x＜5）．  
      
（2）∵△A'DE由△ADE折叠得到，
∴AD=A'D，AE=A'E，
∵由（1）可得△ADE是等腰三角形，
∴AD=AE，
∴A'D=A'E，
∴四边形ADA'E是菱形，
∴AC∥D A'，
∴∠BDA'=∠BAC，
又∵∠BAC≠∠ABC，
∴∠BDA'≠∠ABC，
∵∠BAC≠∠C，
∴∠BDA'≠∠C，
∴有且只有当BD=A'D时，△BDA'∽△BAC，
∴当BD=A'D，即5-x=x时，x=

5

2

．      
   
（3）第一种情况：∠BDA'=90°，
∵∠BDA'=∠BAC，而∠BAC≠90°，
∴∠BDA'≠90°．          
第二种情况：∠BA'D=90°，
∵∠BAM＜90°，∠BA'D＜∠BAM，
∴∠BA'D≠90°；    
第三种情况：∠A'BD=90°，
∵∠A'BD=90°，∠AMB=90°，
∴△BA'M∽△ABM，
即

BA′

AB

=

BM

AM

，∴BA'=

15

4

，
在Rt△D BA'中，DB²+A'B²=A'D²，
（5-x）²+

225

16

=x²，
解得：x=

125

32

．        
综上可知当x=

125

32

时，△A'DB是直角三角形．
解：（1）如图1，
过A点作AM⊥BC，垂足为M，交DE于N点，则BM=

1

2

BC=3，
∵DE∥BC，
∴AN⊥DE，即y=AN．
在Rt△ABM中，AM=

52-32

=4，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴

AD

AB

=

AN

AM

，
∴

x

5

=

y

4

，
∴y=

4x

5

（0＜x＜5）．  
      
（2）∵△A'DE由△ADE折叠得到，
∴AD=A'D，AE=A'E，
∵由（1）可得△ADE是等腰三角形，
∴AD=AE，
∴A'D=A'E，
∴四边形ADA'E是菱形，
∴AC∥D A'，
∴∠BDA'=∠BAC，
又∵∠BAC≠∠ABC，
∴∠BDA'≠∠ABC，
∵∠BAC≠∠C，
∴∠BDA'≠∠C，
∴有且只有当BD=A'D时，△BDA'∽△BAC，
∴当BD=A'D，即5-x=x时，x=

5

2

．      
   
（3）第一种情况：∠BDA'=90°，
∵∠BDA'=∠BAC，而∠BAC≠90°，
∴∠BDA'≠90°．          
第二种情况：∠BA'D=90°，
∵∠BAM＜90°，∠BA'D＜∠BAM，
∴∠BA'D≠90°；    
第三种情况：∠A'BD=90°，
∵∠A'BD=90°，∠AMB=90°，
∴△BA'M∽△ABM，
即

BA′

AB

=

BM

AM

，∴BA'=

15

4

，
在Rt△D BA'中，DB²+A'B²=A'D²，
（5-x）²+

225

16

=x²，
解得：x=

125

32

．        
综上可知当x=

125

32

时，△A'DB是直角三角形．