试题

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，M是边BC的中点，∠DME=∠B，MD与射线BA相交于点D，ME与边AC相交于点E．
（1）求证：

BD

DM

=

CM

EM

；
（2）如果DE=ME，求证：ME∥AB；
（3）在第（2）小题的条件下，如果DM⊥AC，求∠ABC的度数．

（1）证明：∵∠DMC=∠B+∠BDM，∠DMC=∠DME+∠EMC，∠DME=∠B，
∴∠BDM=∠EMC，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴△BDM∽△CME，
∴

BD

CM

=

DM

EM

，
即

BD

DM

=

CM

EM

；

（2）证明：∵△BDM∽△CME，
∴

DM

BM

=

EM

EC

，
∵DE=ME，BM=CM，
∴

DM

CM

=

DE

EC

，∠DME=∠EDM，
∵∠DME=∠B=∠C，
∴∠EDM=∠C，
∴△DME∽△CME，
∴∠EMC=∠EMD，
∴∠EMD=∠B，
∴EM∥AB；

（3）解：连接AM，设AC与DM交于点N，
∵AB=AC，M是BC的中点，
∴AM⊥BC，
即∠AMC=90°，
∵AB∥ME，
∴∠BDM=∠EMD，
∵∠EMD=∠EDM，
∴∠BDM=∠EDM，
∵DM⊥AC，
∴∠AND=∠END=90°，
∵在△ADN和△EDN中，

∠ADN=∠EDN DN=DN ∠AND=∠END

，
∴△ADN≌△EDN（ASA），
∴AD=DE，
∵DE=ME，
∴AD=ME，
∴四边形AMED是平行四边形，
∵AE⊥DM，
∴平行四边形AMED是菱形，
∴∠AMD=∠DME，
∴∠AMD=∠DME=∠EMC，
∴∠B=∠EMC=

1

3

×90°=30°．
（1）证明：∵∠DMC=∠B+∠BDM，∠DMC=∠DME+∠EMC，∠DME=∠B，
∴∠BDM=∠EMC，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴△BDM∽△CME，
∴

BD

CM

=

DM

EM

，
即

BD

DM

=

CM

EM

；

（2）证明：∵△BDM∽△CME，
∴

DM

BM

=

EM

EC

，
∵DE=ME，BM=CM，
∴

DM

CM

=

DE

EC

，∠DME=∠EDM，
∵∠DME=∠B=∠C，
∴∠EDM=∠C，
∴△DME∽△CME，
∴∠EMC=∠EMD，
∴∠EMD=∠B，
∴EM∥AB；

（3）解：连接AM，设AC与DM交于点N，
∵AB=AC，M是BC的中点，
∴AM⊥BC，
即∠AMC=90°，
∵AB∥ME，
∴∠BDM=∠EMD，
∵∠EMD=∠EDM，
∴∠BDM=∠EDM，
∵DM⊥AC，
∴∠AND=∠END=90°，
∵在△ADN和△EDN中，

∠ADN=∠EDN DN=DN ∠AND=∠END

，
∴△ADN≌△EDN（ASA），
∴AD=DE，
∵DE=ME，
∴AD=ME，
∴四边形AMED是平行四边形，
∵AE⊥DM，
∴平行四边形AMED是菱形，
∴∠AMD=∠DME，
∴∠AMD=∠DME=∠EMC，
∴∠B=∠EMC=

1

3

×90°=30°．