试题

题目：
青果学院如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于D，AB=15，BD=9，CD=5，则⊙O的半径
65
8
65
8
．
答案
65
8

青果学院解：∵AD⊥BC于D，AB=15，BD=9，
∴在Rt△ABD中，AD=
AB2-BD2
=
152-92
=12，
∵CD=5，
∴在Rt△ACD中，AC=
AD2+CD2
=
122+52
=13，
如图，连接AO并延长交⊙O于E，连接CE，
则∠B=∠E，∠ACE=90°，
∴∠ADB=∠ACE，
∴△ABD∽△AEC，
∴
AB
AE
=
AD
AC
，
即
15
AE
=
12
13
，
解得AE=
65
4
，
∴⊙O的半径为
1
2
AE=
1
2
×
65
4
=
65
8
．
故答案为：
65
8
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；圆周角定理．
根据勾股定理列式求出AD、AC，连接AO并延长交⊙O于E，连接CE，根据同弧所对的圆周角相等可得∠B=∠E，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACE=90°，然后求出△ABD和△AEC相似，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到AE的值，从而得到圆的半径．
本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，直径所对的圆周角是直角的性质，作以直径为斜边的相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．
压轴题．
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