题目:

如图,直角梯形ABCD中,AB⊥BC,AD∥BC,点E是AB的中点,AD+BC=CD,下列结论中:
①△ADE∽△BEC;②DE
2=DA·DC;③若设AD=a,CD=b,BC=C,则关于x的方程ax
2+bx+c=0有两个不相等的实数根;④若设AD=a,CD=b,BC=C,则关于x的方程ax
2+bx+c=0有两个相等的实数根.其中正确的结论有
①②③
①②③
.
答案
①②③
解:过E作EF∥AD∥BC;
∵E是AB的中点,

∴EF是梯形ABCD的中位线,即AD+BC=2EF,F是CD的中点;
又∵AD+BC=CD,
∴CD=2EF,又F是CD的中点,
易得△DEC是直角三角形,即∠DEC=90°;
由于AD∥EF,且F是Rt△EDC斜边CD的中点(即FE=FD),
∴∠ADE=∠FED=∠FDE,
过E作EG⊥CD,
∵∠A=∠EGD=90°,∠ADE=∠GDE,DE=DE,
∴△ADE≌△DEG,同理可证△BEC≌△GEC;
①∵∠DEC=90°,
∴∠AED+∠BEC=90°,又∠ADE+∠AED=90°,
∴∠ADE=∠BEC,又∠A=∠B,
∴△ADE∽△BEC,故本选项正确;
②在Rt△DEC中,EG⊥CD,由射影定理得:DE2=DG·DC,
由于AD=DG,所以DE2=DA·DC,故本选项正确;
③若AD=a,CD=b,BC=c,则由:
a+c=b,即c=b-a;
∴关于x的方程ax
2+bx+c=0根的判别式为:
△=b
2-4a(b-a)=b
2-4ab+4a
2=(b-2a)2;
由于EF≠AD,即CD≠2AD,b≠2a,
∴△=(b-2a)
2>0,
即方程有两个不相等的实数根,故本选项正确;
④若AD=a,CD=b,BC=c,则由:
a+c=b,即c=b-a;
∴关于x的方程ax
2+bx+c=0根的判别式为:
△=b
2-4ac=b
2-4a(b-a)=b
2-4ab+4a
2=(b-2a)
2;
由于EF≠AD,即CD≠2AD,b≠2a,
∴△=(b-2a)2>0,
即方程有两个不相等的实数根,故本选项错误.
故答案是:①②③.