试题

题目：
青果学院如图，在△ABC中，BC=3，S△ABC=3，B1C1所在四边形是△ABC的内接正方形，则B1C1的长为
6
5
6
5
； 若B2C2所在四边形是△AB1C1的内接正方形，B3C3所在四边形是△AB2C2的内接正方形，依此类推，则BnCn的长为
3×(
2
5
)n
3×(
2
5
)n
．
答案
6
5

3×(
2
5
)n

青果学院解：过点A作AD⊥BC于点D，交B1C1于点E，交B2C2于点F，
∵B1C1所在四边形是△ABC的内接正方形，
∴B1C1∥BC，AD⊥B1C1，ED=B1C1，
∴△AB1C1∽△ABC，
∵在△ABC中，BC=3，S△ABC=3，
∴S△ABC=
1
2
BC·AD=
1
2
×3AD=3，
∴AD=2．
设B1C1=x，则AE=2-x，
∵△AB1C1∽△ABC，
∴
AE
AD
=
B1C1
BC
，即
2-x
2
=
x
3
，
解得，x=
6
5
．
同理：△AB2C2∽△AB1C1，
∴
AF
AE
=
B2C2
B1C1
，
∵AE=2-
6
5
=
4
5
，
∴设B2C2=y，则AF=
4
5
-y，
∴y=
12
25
，
即B2C2=
12
25
=3×(
2
5
)2，
同理：B3C3=3×(
2
5
)3；
∴BnCn=3×(
2
5
)n；
故答案是：
6
5
；3×(
2
5
)n．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；正方形的性质．
过点A作AD⊥BC于点D，交B1C1于点E，交B2C2于点F，由B1C1所在四边形是△ABC的内接正方形，易证得△AB1C1∽△ABC，由在△ABC中，BC=3，S△ABC=3，可求得高AD的长，然后由相似三角形对应高的比等于相似比，求得B1C1的长，同理可求得B2C2与B3C3的长，观察即可得规律：BnCn=3×(
2
5
)n
此题考查了相似三角形的判定与性质与正方形的性质．此题难度较大，属于规律性题目，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
压轴题．
找相似题