试题

证明：只存在唯一一个三角形，它的三边长为三个连续的正整数，并且它的三个内角中有一个内角为另一个内角的2倍．

证明：如图，在△ABC中，设∠A=2∠B，且三边长分别为a，b，c．
延长CA到点D，使AD=AB=c，则CD=b+c，由∠A=2∠B，知∠ABC=∠D．
从而，△ABC∽△BDC，故

BC

DC

=

AC

BC

，即

a

b+c

=

b

a

于是，a²=b（b+c）①
当a＞c＞b时，设a=n+1，c=n，b=n-1，代入①式，解得，n=5．
此时，a=6，b=5，c=4；
当c＞a＞b时，设c=n+1，a=n，b=n-1，解得，n=2．
此时，a=2，b=1，c=3，不能构成三角形；
同理，当a＞b＞c时，可得，n²-3n-1=0，无解．
综上所述，满足条件的三角形只有一个，其三边长为4，5，6．
证明：如图，在△ABC中，设∠A=2∠B，且三边长分别为a，b，c．
延长CA到点D，使AD=AB=c，则CD=b+c，由∠A=2∠B，知∠ABC=∠D．
从而，△ABC∽△BDC，故

BC

DC

=

AC

BC

，即

a

b+c

=

b

a

于是，a²=b（b+c）①
当a＞c＞b时，设a=n+1，c=n，b=n-1，代入①式，解得，n=5．
此时，a=6，b=5，c=4；
当c＞a＞b时，设c=n+1，a=n，b=n-1，解得，n=2．
此时，a=2，b=1，c=3，不能构成三角形；
同理，当a＞b＞c时，可得，n²-3n-1=0，无解．
综上所述，满足条件的三角形只有一个，其三边长为4，5，6．