试题

已知如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=3

3

，以BC边上点O为圆心，以OB为半径的圆分别交边AB、BC于点M、N．连接MN．
（1）请你探究：四条线段AB、BM、BC、BN之间的关系，并证明你的结论；
（2）若M是AB边的中点，请你判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）设⊙O的半径为r，若改变点O在BC上的位置，试探究当半径r满足什么条件时，⊙O与边AC只有一个公共点．（直接写出答案）

解：（1）

AB

NB

=

BC

BM

∵BN是直径，
∴∠NMB=90°∠ACB=90°
∴∠NMB=∠ACB，∠B=∠B
∴△BMN∽△BCA
∴

AB

NB

=

BC

BM

；（3分）

（2）连接OM
在Rt△ACB中，tanB=

AC

BC

=

1

3

∴∠B=30°
∴∠A=90°-30°=60°
∵M是AB的中点
∴MC=MA=

1

2

AB
∴△ACM是等边三角形
∴∠CMA=60°
∴∠OMB=∠B=30°
∴∠CMO=180°-60°-30°=90°
∴OM⊥CM
∴CM是⊙O的切线；（4分）

（3）

3

2

3

≤r≤2

3

（2分）
解：（1）

AB

NB

=

BC

BM

∵BN是直径，
∴∠NMB=90°∠ACB=90°
∴∠NMB=∠ACB，∠B=∠B
∴△BMN∽△BCA
∴

AB

NB

=

BC

BM

；（3分）

（2）连接OM
在Rt△ACB中，tanB=

AC

BC

=

1

3

∴∠B=30°
∴∠A=90°-30°=60°
∵M是AB的中点
∴MC=MA=

1

2

AB
∴△ACM是等边三角形
∴∠CMA=60°
∴∠OMB=∠B=30°
∴∠CMO=180°-60°-30°=90°
∴OM⊥CM
∴CM是⊙O的切线；（4分）

（3）

3

2

3

≤r≤2

3

（2分）