试题

题目：
青果学院如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB．
（1）求证：AD⊥DC；
（2）若AD=2，AC=
5
，求AB的长．
答案
青果学院解：（1）连接OC，
∵直线CD与⊙O相切于点C，
∴OC⊥CD．
∴∠OCA+∠DCA=90°，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠OAC，
又∵在⊙O中，OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴∠DCA+∠DAC=90°，
则∠ADC=90°，
即AD⊥DC；

（2）连接BC．
∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
又∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠OAC，
∴△ADC∽△ACB，
∴
AD
AC
=
AC
AB
，即
2
5
=
5
AB
，
则AB=
5
2
．
青果学院解：（1）连接OC，
∵直线CD与⊙O相切于点C，
∴OC⊥CD．
∴∠OCA+∠DCA=90°，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠OAC，
又∵在⊙O中，OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴∠DCA+∠DAC=90°，
则∠ADC=90°，
即AD⊥DC；

（2）连接BC．
∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
又∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠OAC，
∴△ADC∽△ACB，
∴
AD
AC
=
AC
AB
，即
2
5
=
5
AB
，
则AB=
5
2
．
考点梳理
切线的性质；相似三角形的判定与性质．
（1）连接OC，根据切线的性质得到OC与CD垂直，进而得到∠OCA+∠DCA=90°，由AC为角平分线，根据角平分线定义得到两个角相等，又OA=OC，根据等边对等角得到又得到另两个角相等，等量代换后得到∠DAC=∠OCA，根据等角的余角相等得到∠DCA+∠DAC=90°，从而得到∠ADC为直角，得证；
（2）连接CB，由AB为圆O的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠ACB与∠ADC相等都为直角，又根据AC为角平分线得到一对角相等，由两对对应角相等的两三角形相似，得到三角形ADC与三角形ABC相似，由相似得比例列出关系式，把AC和AD的长即可求出AB的长．
此题考查了切线的性质，圆周角定理以及相似三角形的判定与性质．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．同时要求学生掌握直径所对的圆周角为直角．圆与相似三角形及三角函数相融合的解答题、与切线的性质和判定有关的证明题是近几年中考的热点试题．
综合题；压轴题．
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