试题

题目：
如图，已知圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点N，点M在对角线BD上，且满足∠BAM=∠DAN，∠青果学院BCM=∠DCN．
求证：（1）M为BD的中点；
（2）
AN
CN
=
AM
CM
．
答案
证明：
（1）根据同弧所对的圆周角相等，得∠DAN=∠DBC，∠DCN=∠DBA．
又∵∠DAN=∠BAM，∠BCM=∠DCN，
∴∠BAM=∠MBC，∠ABM=∠BCM．
∴△BAM∽△CBM，
∴
BM
CM
=
AM
BM
，即BM2=AM·CM．①
又∠DCM=∠DCN+∠NCM=∠BCM+∠NCM=∠ACB=∠ADB，
∠DAM=∠MAC+∠DAN=∠MAC+∠BAM=∠BAC=∠CDM，
∴△DAM∽△CDM，
则
DM
CM
=
AM
DM
，即DM2=AM·CM．②
由式①、②得BM=DM，
即M为BD的中点．

（2）如图，延长AM交圆于点P，连接CP．青果学院
∴∠BCP=∠PAB=∠DAC=∠DBC．
∵PC∥BD，
∴
AN
NC
=
AM
PM
．③
又∵∠MCB=∠DCA=∠ABD，∠DBC=∠PCB，
∴∠ABC=∠MCP．
而∠ABC=∠APC，
则∠APC=∠MCP，
有MP=CM．④
由式③、④得
AN
CN
=
AM
CM
．
证明：
（1）根据同弧所对的圆周角相等，得∠DAN=∠DBC，∠DCN=∠DBA．
又∵∠DAN=∠BAM，∠BCM=∠DCN，
∴∠BAM=∠MBC，∠ABM=∠BCM．
∴△BAM∽△CBM，
∴
BM
CM
=
AM
BM
，即BM2=AM·CM．①
又∠DCM=∠DCN+∠NCM=∠BCM+∠NCM=∠ACB=∠ADB，
∠DAM=∠MAC+∠DAN=∠MAC+∠BAM=∠BAC=∠CDM，
∴△DAM∽△CDM，
则
DM
CM
=
AM
DM
，即DM2=AM·CM．②
由式①、②得BM=DM，
即M为BD的中点．

（2）如图，延长AM交圆于点P，连接CP．青果学院
∴∠BCP=∠PAB=∠DAC=∠DBC．
∵PC∥BD，
∴
AN
NC
=
AM
PM
．③
又∵∠MCB=∠DCA=∠ABD，∠DBC=∠PCB，
∴∠ABC=∠MCP．
而∠ABC=∠APC，
则∠APC=∠MCP，
有MP=CM．④
由式③、④得
AN
CN
=
AM
CM
．
考点梳理
圆内接四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．
（1）要证M为BD的中点，即证BM=DM，由∠BAM=∠DAN，∠BCM=∠DCN，及圆周角的性质易证明△BAM∽△CBM，△DAM∽△CDM得出比例的乘积形式，可证明BM=DM；
（2）欲证
AN
CN
=
AM
CM
，可以通过平行线的性质证明，需要延长AM交圆于点P，连接CP，证明PC∥BD，得出比例式，相应解决MP=CM的问题即可．
本题考查了相似三角形的性质，圆周角的性质，是一道较难的题目．
证明题．
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